Diophantine equation 15

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(31/1/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${15}$$
$${(15.1)}$$  $${x^3+y^3+z^2=w^4}$$
$${(15.2)}$$  $${x^3+y^3+z^4=w^4}$$
$${(15.3)}$$  $${x^{12}+y^6+z^4=w^8}$$(おまけ)
$${(15.4)}$$  $${x^{15}+y^{15}+z^4=w^4}$$
$${(15.5)}$$  $${x^{60}+y^{30}+z^4=w^4}$$(おまけ)
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$${case(15.1)}$$  $${(x^3+y^3+z^2=w^4)}$$

次の恒等式を使う。
$${(a-b)^4+8a^3b+8ab^3=(a+b)^4}$$
ここで、$${a=m^3 , b=m^3}$$と置くと、
$${(m^3-n^3)^4+(2m^3n)^3+(2mn^3)^3=\\(m^3+n^3)^4}$$

つまり$${((m^3-n^3)^2)^2+(2m^3n)^3\\+(2mn^3)^3=(m^3+n^3)^4}$$であり、

$${x= 2m^3n\\y= 2mn^3\\z= (m^3-n^3)^2\\w= m^3+n^3}$$

$${(m,n)=(2,1)→(x,y,z,w)=(16,4,49,9)}$$
$${16^3+4^3+49^2=9^4}$$
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$${case(15.2)}$$  $${(x^3+y^3+z^4=w^4)}$$
$${case(15.1)}$$の解を使う。
既に$${z=(m^3-n^3)^2}$$なので、新たに
$${z→z^2}$$に置き直す。

$${x= 2m^3n\\y= 2mn^3\\z= m^3-n^3\\w= m^3+n^3}$$

$${(m,n)=(2,1)→(x,y,z,w)=(16,4,7,9)}$$
$${16^3+4^3+7^4=9^4}$$
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$${case(15.3)}$$  $${(x^{12}+y^6+z^4=w^8)}$$(おまけ)

先程の解$${16^3+4^3+7^4=9^4}$$
$${→2^{12}+2^6+7^4=3^8}$$
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$${case(15.4)}$$  $${(x^{15}+y^{15}+z^4=w^4)}$$

$${case(15.2)}$$の解$${x= 2m^3n , y= 2mn^3}$$が
同時に5乗数になる様に
$${m=2s^5 , y=2t^5}$$と置く。

$${x= 2m^3n=(2s^3t)^5\\y=2mn^3=(2pt^3)^5\\z= m^3-n^3=(8s^{15}-8t^{15})\\w=m^3+n^3=(8s^{15}+8t^{15})}$$

新たに$${x→x^5,y=y^5}$$と置き直して、

$${(s,t)=(2,1)→\\(x,y,z,w)=(16,4,262136,212652)}$$
$${16^{15}+4^{15}+262136^4=212652^4}$$
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$${case(15.5)}$$  $${(x^{60}+y^{30}+z^4=w^4)}$$(おまけ)

$${2^{60}+2^{30}+262136^4=212652^4}$$
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