JT重力をやってみよう-古典解2(ディラトンの解2,共形ゲージ)

ここでは前回のディラトンについての運動方程式

$$
\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi -g_{\mu\nu}\nabla^{2}\Phi+g_{\mu\nu}\Phi =-8\pi G_{N}T_{\mu\nu}
$$

から共形ゲージによる表示

$$
\begin{align*}
  -e^{2\omega}\partial_{u}(e^{-2\omega}\partial_{u}\Phi)&=8\pi G_{N}T_{uu}& (1)\\
  -e^{2\omega}\partial_{v}(e^{-2\omega}\partial_{v}\Phi)&=8\pi G_{N}T_{vv}& (2)\\
  2\partial_{u}\partial_{v}\Phi+e^{2\omega}\Phi&=16\pi G_{N}T_{uv}& (3)
\end{align*}
$$

を求めていきます。共形ゲージを取った時の計量は

$$
ds^{2}=-e^{2\omega}dudv
$$

または

$$
g_{uv}=g_{vu}=-\frac{1}{2}e^{2\omega},\quad g^{uv}=g^{vu}=-2e^{-2\omega}, \,(\mathrm{otherwise})=0.
$$

でした。具体的にこれを代入していきます。共変微分の際に必要な、0でないChristoffel記号は

$$
\Gamma^{u}_{uu}=2\partial_{u}\omega ,\quad \Gamma^{v}_{vv}=2\partial_{v}\omega
$$

です。まず(1)について考えましょう。左辺を展開して求めたい形をわかりやすくしておきます。

$$
-e^{2\omega}\partial_{u}(e^{-2\omega}\partial_{u}\Phi)=-\partial_{u}\partial_{u}\Phi+2\partial_{u}\omega \partial_{u}\Phi=8\pi G_{N}T_{uu}
$$

はじめの運動方程式で$${\mu=\nu=u}$$とします。すると残るのは

$$
\nabla_{u}\nabla_{u}\Phi =-8\pi G_{N} T_{uu}
$$

となります。左辺の共変微分を実行します。スカラー場については通常の偏微分です。

$$
\begin{align*}
\nabla_{u}\nabla_{u}\Phi &=\nabla_{u}(\partial_{u}\Phi)\\
&=\partial_{u}\partial_{u}\Phi-\Gamma^{a}_{uu}\partial_{a}\Phi\\
&=\partial_{u}\partial_{u}\Phi-2\partial_{u}\omega\partial_{u}\Phi
\end{align*}
$$

よって(1)と一致していることが確かめられました。$${\mu=\nu=v}$$とおけば(2)についても同様です。$${\mu=u,\nu=v}$$として(3)を求めます。

$$
\nabla_{u}\nabla_{v}\Phi -g_{uv}\nabla^{2}\Phi+g_{uv}\Phi =-8\pi G_{N}T_{uv}
$$

共変微分を実行します。

$$
\begin{align*}
\nabla_{u}\nabla_{v}\Phi&=\nabla_{u}(\partial_{v}\Phi)\\
&=\partial_{u}\partial_{v}\Phi-\Gamma^{a}_{uv}\partial_{a}\Phi\\
&=\partial_{u}\partial_{v}\Phi
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\nabla^{2}\Phi&=g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\Phi\\
&=-2e^{-2\omega}\nabla_{u}(\partial_{v}\Phi) -2e^{-2\omega}\nabla_{v}(\partial_{u}\Phi)\\
&=-4e^{-2\omega}\partial_{u}\partial_{v}\Phi
\end{align*}
$$

$${g_{uv}=-\frac{1}{2}e^{2\omega}}$$を代入すれば

$$
\partial_{u}\partial_{v}\Phi-\frac{1}{2}e^{2\omega}\times 4e^{-2\omega}\partial_{u}\partial_{v}\Phi -\frac{1}{2}e^{2\omega}\Phi =-8\pi G_{N}T_{uv}
$$

よって

$$
2\partial_{u}\partial_{v}\Phi+ e^{2\omega}\Phi =16\pi G_{N}T_{uv}
$$

とまとまります。$${\mu=v,\nu=u}$$とおいてもと同じ式が得られます。

これで共形ゲージによる表示を得られました。次回はこの運動方程式を実際に解いていきます。