交換子まぜまぜ(江口菅原(5.123)式について)

江口菅原(5.123)式の直前で

$$
\braket{0|e^{-\frac{1}{n} \alpha_{n} \tilde{\alpha}_{n} }e^{-\pi s(L_{0}+\tilde{L}_{0})} e^{-\frac{1}{n} \alpha_{-n} \tilde{\alpha}_{-n} } |0}=\sum_{k=0}^{\infty} e^{-2\pi kns}
$$

が計算されている。
やることは教科書にある通り消滅演算子を後ろに持ってくることである。
結論だけ言えば本当にやることは「だけ」なのだが、ちょっと手こずったのでここにメモしておく。

これは指数関数を級数で表し、交換関係を用いて消滅演算子をすべて後ろに持ってくることで計算される。

$$
e^{-\frac{1}{n}\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}}e^{-\pi s (L_{0}+\tilde{L}_{0})} e^{-\frac{1}{n}\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n}}=\sum_{k,l,p}\frac{(-\pi s)^{l}}{k!l!p!}\left( -\frac{1}{n} \right)^{k+p}(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}(L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l}(\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{p}
$$

これの演算子の部分に注目する。以後、演算子の順番通り$${(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}}$$を左、$${(L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l}}$$を中、$${(\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{p}}$$を右という事がある。
左・中・右をそれぞれ交換関係を用いて関係を得るが、ここでは一般のべきでの形を予想してから数学的帰納法を用いて導出した。

左・中の交換

まず、左の消滅演算子と中のVirasoroモードについて計算する。

$$
[\alpha_{n},L_{0}]=n\alpha_{n},\quad   [\tilde{\alpha}_{n},\tilde{L}_{0}]=n\tilde{\alpha}_{n}
$$

を用いて

$$
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k} (L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l}=(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l} (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}
$$

が成立することを帰納法によって示す。

$${k=l=1}$$のときを考える。

$$
\begin{align*}
 (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})(L_{0}+\tilde{L}_{0})&=[\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n},L_{0}+\tilde{L}_{0}]+(L_{0}+\tilde{L}_{0}) (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &=[\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n},L_{0}]+[\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n},\tilde{L}_{0}]+ (L_{0}+\tilde{L}_{0}) (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &=n\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}+n\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}+(L_{0}+\tilde{L}_{0}) (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &=(2n+L_{0}+\tilde{L}_{0} )\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}
\end{align*}
$$

よって成り立つ。$${k=k', l=1}$$で成立と仮定する。

$$
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'} (L_{0}+\tilde{L}_{0})=(2k'n+ L_{0}+\tilde{L}_{0})(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'}
$$

$${k=k'+1}$$では

$$
\begin{align*}
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'+1} (L_{0}+\tilde{L}_{0})&=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})\underbrace{(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'} (L_{0}+\tilde{L}_{0})}_{\text{仮定した式}}\\
  &=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})(2k'n+ L_{0}+\tilde{L}_{0})(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'}\\
 &=(2k'n+n+n +L_{0}+\tilde{L}_{0})(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'}\\
  &=(2(k'+1)n+L_{0}+\tilde{L}_{0})(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k'}
\end{align*}
$$

なので$${l=1}$$であれば一般の$${k}$$で成立する。さらに$${l=l'}$$で成立すると仮定する。

$$
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k} (L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'}=(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'} (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}
$$

$${l=l'+1}$$では

$$
\begin{align*}
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k} (L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'+1}&=  \underbrace{(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k} (L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'}}_{\text{仮定した式}}(L_{0}+\tilde{L}_{0})\\
  &=(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'} \underbrace{(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}(L_{0}+\tilde{L}_{0})}_{l=1}\\
  &=(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'}(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}\\
  &=(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l'+1}(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}
\end{align*}
$$

よって一般の$${l}$$について成り立つ。以上より

$$
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k} (L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l}=(2kn+ L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l} (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}
$$

が成立する。なお、$${\bra{0}}$$にかかるため$${L_{0}+\tilde{L}_{0}}$$の固有値はゼロであり

$$
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k} (L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l}\sim(2kn)^{l} (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}
$$

の寄与をする。ここで$${\sim}$$はゼロではない寄与を表している。

右との交換

次にこれと右の生成演算子について計算する。$${\bra{0} }$$または$${\ket{0} }$$にかかることを考えると$${k<p}$$では消滅演算子が余って$${\ket{0} }$$に作用するためゼロとなり、$${k>p}$$では生成演算子が余って$${\bra{0} }$$に作用するためゼロとなる。

したがって$${k=p}$$でのみゼロでなく

$$
\begin{align*}
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k} (\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k}&=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k-1}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k-1}(kn+\alpha_{-n}\alpha_{n})(kn+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n}) \\
  &\sim(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k-1}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k-1}k^{2}n^{2}
\end{align*}
$$

の寄与をし、またこれは生成消滅演算子のべきがゼロになるまで繰り返すと

$$
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k}\sim k!^{2}n^{2k}
$$

である。これも数学的帰納法を用いて示す。$${k=1}$$のとき

$$
\begin{align*}
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) (\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )&=([\alpha_{n},\alpha_{-n}]+\alpha_{-n}\alpha_{n})([\tilde{\alpha}_{n},\tilde{\alpha}_{-n}]+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &=(n+\alpha_{-n}\alpha_{n})(n+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &\sim n^{2}
\end{align*}
$$

となり成立する。$${k=k'}$$で成り立つと仮定する。

$$
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k'} (\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k'}=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k'-1}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k'-1}(k'n+\alpha_{-n}\alpha_{n})(k'n+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})
$$

$${k=k'+1}$$では

$$
\begin{align*}
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k'+1} (\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k'+1}&=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k'}\underbrace{(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})(\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )}_{k=1} (\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k'}\\
  &=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k'} (n+\alpha_{-n}\alpha_{n})(n+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})(\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k'}\\
  &=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k'} (n+\alpha_{-n}\alpha_{n})\alpha_{-n}^{k'}(n+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})\tilde{\alpha}_{-n} ^{k'}\\
  &=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k'}\alpha_{-n}^{k'}\tilde{\alpha}_{-n} ^{k'} (n+k'n+\alpha_{-n}\alpha_{n})(n+k'n+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k'}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k'}((k'+1)n+\alpha_{-n}\alpha_{n})((k'+1)n+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n})\\
  &\sim (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k'}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k'}(k'+1)^{2}n^{2}
\end{align*}
$$

と計算できるため成立する。よって一般の$${k}$$について

$$
\begin{align*}
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}) ^{k} (\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k}&=(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k-1}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k-1}(kn+\alpha_{-n}\alpha_{n})(kn+\tilde{\alpha}_{-n}\tilde{\alpha}_{n}) \\
  &\sim(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k-1}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{k-1}k^{2}n^{2}
\end{align*}
$$

また

$$
(\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n} )^{k}( \alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n} )^{k}\sim k!^{2}n^{2k}
$$

が成り立つ。

全体の寄与

以上を組み合わせると、全体で

$$
  (\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n})^{k}(L_{0}+\tilde{L}_{0})^{l}(\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n})^{p}\sim (2kn)^{l}k!^{2}n^{2k}
$$

の寄与をする。したがって

$$
\begin{align*}
  e^{-\frac{1}{n}\alpha_{n}\tilde{\alpha}_{n}}e^{-\pi s (L_{0}+\tilde{L}_{0})} e^{-\frac{1}{n}\alpha_{-n}\tilde{\alpha}_{-n}}&\sim \sum_{k,l,(p=k)}\frac{(-\pi s)^{l}}{k!l!k!}\left( -\frac{1}{n} \right)^{k+k}(2kn)^{l}k!^{2}n^{2k}\\
  &=\sum_{k,l}\frac{(-2\pi kns )^{l}}{l!}\\
  &=\sum_{k}e^{-2\pi kns}\\
  &=\frac{1}{1-e^{2\pi ns}}
\end{align*}
$$

である。