2次元のRicci曲率とGauss曲率の関係

2次元のRicci曲率$${R}$$とGauss曲率$${K}$$の関係は次のように与えられる。

$$
K=\frac{1}{2}R
$$

実際にはこの関係は定義よりすぐに分かることなのだが一瞬混乱したのでメモ。この記事の内容も少し含む。

状況を設定し、はじめにGauss曲率を定義する。
計量は$${g_{ab}=\delta_{ab} }$$である。曲面上の各点での接ベクトル$${\overrightarrow{e}_{1},\overrightarrow{e}_{2}}$$と法ベクトル$${\overrightarrow{e}_{3}}$$を正規直交として用意する。($${\overrightarrow{e}_{a}\cdot \overrightarrow{e}_{b}=\delta_{ab} }$$)1形式$${\sigma^{a}=\sigma^{a}_{\mu}dx^{\mu}}$$を用いて接平面上の微小変位ベクトルは

$$
d\overrightarrow{r}=\sigma^{1}\overrightarrow{e}_{1}+\sigma^{2}\overrightarrow{e}_{2}=\sigma^{i}\overrightarrow{e}_{i}
$$

である。Einsteinの縮約に注意。さらに基底ベクトルは正規直交であるからsその微小変化も線形結合で

$$
d\overrightarrow{e}_{i}=\omega_{ij}\overrightarrow{e}_{j}
$$

と書ける。ここで$${d(\overrightarrow{e}_{a}\cdot \overrightarrow{e}_{b})=0}$$なので$${\omega_{ij}}$$は反対称であることが示せる。

$${d(d\overrightarrow{r})=0}$$より

$$
d\sigma_{i}=\sigma^{j}\wedge \omega_{ji},\quad i=1,2.\\
\sigma_{j}\wedge \omega_{j3}=0.
$$

$${d(d\overrightarrow{e}_{i})=0}$$より

$$
d\omega_{ik}= \omega_{ij}\wedge  \omega_{jk}
$$

どちらも接平面上の量であるので互いに関係がある。それを

$$
\omega_{i3}=b_{ij}\sigma_{j}
$$

と書く。このときの$${b_{ij}}$$を用いて

$$
d\omega_{12}=\omega_{1j}\wedge  \omega_{j2}=(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})\sigma_{1}\wedge \sigma_{2}
$$

と書ける。ここでGauss曲率を

$$
K=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}
$$

と定義すると

$$
d\omega_{12}=K\sigma_{1}\wedge \sigma_{2}
$$

と書ける。

次にRicci曲率について考える。この文脈では上の議論における$${\omega_{ab}}$$はスピン接続として考えられて、まずRicci曲率2形式が定義より

$$
R_{ab}=d\omega_{ab}+\omega_{ac}\wedge \omega_{cb}=d\omega_{ab},\\
\displaystyle R_{ab}=\frac{1}{2}\sigma^{a}_{\mu}\sigma^{\nu}_{b}R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}.
$$

また、2次元においてRiemannテンソルは

$$
R_{\mu\nu\rho\sigma} = \frac{1}{2}R(g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} - g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})
$$

とRicci曲率を用いて書ける。以上をすべて代入して関係を得る。ここでは$${\omega_{12}}$$を得るために

$$
\begin{align*}
\begin{split}
d\omega_{12}&=R_{12}\\
&=\frac{1}{2}\sigma_{1\mu}\sigma^{\nu}_{2}R^{\mu}_{\nu\rho\sigma}dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}\\
&=\frac{1}{2}\frac{1}{2}R(g^{\mu}_{\rho}g_{\nu\sigma} - g^{\mu}_{\sigma}g_{\nu\rho})\sigma_{1\mu}\sigma^{\nu}_{2}dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}\\
&=\frac{1}{4}R(\sigma_{1\rho}\sigma_{2\sigma}dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma}-\sigma_{1\sigma}\sigma_{2\rho}dx^{\rho}\wedge dx^{\sigma})\\
&=\frac{1}{2}R\sigma_{1}\wedge \sigma_{2}
\end{split}
\end{align*}
$$

というわけで

$$
K=\frac{1}{2}R
$$

が成り立つ。ビアンキ恒等式とか使えばもっと簡単に示せそう。