微積分について

高校で積分を教わった時、面積を微小な長方形で分割してそれを足し合わせることで全体の面積ができると教わった。

だが、重要なのはその無限に小さな長方形に分割してからそれらを足すということを一々やっていたら大変で、実際には積分関数の両端の差という一回の引き算だけでその面積が出てくることだ。だが、このことはあとで教わるのである。これは魔法みたいな方法でなぜそんなことができるのかを十分納得するようには誰も教えてくれなかった。

もちろん式を追っていけばわかるのだが、例えば微積分の基本定理を使うとか、階差数列を出して中間が消えて両端だけが残るというようなことである。だがもっと端的に考えることもできる。次のようにである。
　数直線上に二点A、Bがあったとする。その二点間の長さを求めるにはAーBですぐもとまる。これも両端の差である。これは誰でも納得できる。実はこれと全く同じなのだ。
　実は二点間の長さというのはその二点間を無限小の長さまで落とし込んで、その無限小をAからBまで足すことで出てくるのだ。この無限小の足し算の結果が二点間の引き算だけで出てくるというのがポイントである。
この考えを二次元の面積に当てはめれば良い。

結局、微積分の本質にあるのは無限小と無限大の扱いである。これらが実践的に扱えるようになったというのが微積分の方法の価値なのだ。この成功により物理学での応用が広まり成功するようになった。