今日覚えたい文法

Je me suis acheté un nouvel ordinateur.

・主語は誰であっても "acheté" が achetée とつづられることは決してありません。

代名動詞が複合形（複合過去形、前未来形、大過去形…）で使われる時に、過去分詞が主語に合わせて性数一致をすることがあります。正確に言えば主語ではなく再帰代名詞（me, te, se, nous, vous）に合わせてというべきでしょう。

「性数一致をするのは再帰代名詞が動詞の直接目的語のときのみ」

Elles se sont lavées.
Elles ont lavé quoi/qui ? （何を・誰を）
→Elles ont lavé elles-mêmes（自分を）

Elles se sont lavé le visage.
Elles ont lavé quoi/qui ? （何を・誰を）
→Elles ont lavé le visage（顔を）
（se は直接目的語ではない）

・Je me suis acheté ってなぜ me が入っているのでしょうか？

acheter は何を買ったかということを伝えたいときには j'ai acheté で問題はないのです。

Tu es bien chargée. Qu'est-ce que tu as acheté ?
　- J'ai acheté de la farine, du beurre, 2 kilos de riz, du lait, des tomates et des fraises.

買ったことだけが問題ではなく「誰に何を」を伝えたいときには、
「s'acheter 購入物」という構文がぴったりです。

À Paris, je me suis acheté un foulard chez Hermès et un sac chez Louis Vuitton.

・un nouvel ordinateur の nouvel って nouveau じゃだめなのでしょうか？

ordinateur は男性名詞ですが、母音で始まっていますね。
nouveau[o], beau[o], vieux[ø], mou[u], fou[u] の5つの形容詞には「男性第2形」が存在します。
「男性第2形」は母音で始まる単数形の男性名詞の手前に置かれて、上記の5つの形容詞の最後の母音と次の名詞の最初の母音と「母音が2つ並んで発音しづらい」現象を避けます。

un nouvel ordinateur
un bel homme
un vieil élève
un mol oreiller
un fol Espagnol

・そもそも nouveau という形容詞の選択でいいのでしょうか。

「新しい」と日本語で訳される形容詞は主に4つあります。

1. nouveau：自分との時間的関係が「新しい」（主に名詞の前に置かれる）
2.  neuf：誰も触ったことがない新品で「まっさらの」（名詞の後に置かれる）
3. dernier：時間の流れの中で「もっとも最新の」、生きている人だと「最新の」亡くなった人だと「最後の」（名詞の前に置かれる）
4. récent：時間の流れの中で「比較的新しい」（名詞の後に置かれる）

「買った」のですから、自分との時間的な関係は「短い」ですよね。まだ「新しい」のです。
もし、中古ではなく買ったコンピューターは「まっさらである」ということを積極的に伝えたければ neuf を使っても問題はありません。

Je me suis acheté un ordinateur neuf.

「何を積極的に伝えたいのか」を考えると、自ずから選択する形容詞が決まってくるのです。

Je me suis acheté un nouvel ordinateur.
自分との時間的関係が「新しい」コンピューターを自分に買った。

ご参考まで