京都大学2018年整数問題解説
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京都大学2018年の入試問題です。
問題文を読む限り、多項式と素数がポイントとなりそうです。
多項式と素数から考えられるアプローチを挙げると次の2つが考えられます。
1.与えられ多項式にいくつか整数を代入し、その結果から数の構造を把握し素数を特定する。
2.多項式を因数分解し、因数が1または-1に等しくなることを利用する。
パッと見る限り因数分解は難しそうなのでいくつか整数を代入し、構造を把握することから始めていきます。
実験結果を見る限り、n^3-7n+9は3の倍数になるようです。そうすると、n^3-7n+9が3の倍数であることを説明することができれば、n^3-7n+9がなる素数は3であると特定できます。
以上のことから解答としては3の倍数になることを示すことから始めます。
3の倍数であることの証明はnを3で割った余りで分類する方法を採用することが分かりやすいでしょう。ここまでくればn^3-7n+9=3を解いてnを求めるだけです。
高次方程式を解くだけなのでそこまで難しくないと思われます。
では、3の倍数になることの別な証明を紹介して終わりにします。
先ほどは3で割った余りを分類することで説明しましたが、ここでは、連続する3整数には必ず3の倍数があることを用います。
いかがでしょうか？簡単に気づくことはできませんが、解答のスリム化にはなるかと思います。
今回はここまで。よければ👍️をお願いします。