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ヌーソロジーと四元数

ラーキー

Lie group.

リー群（リーぐん、英語: Lie group）は、群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E7%BE%A4

八元数

半田さんが八元数の話をされています。
僕は四元数の理解も全然できていない状態ですので、八元数なんて恐れ多いですね。

ファイさんがファノ平面について考察されているそうです。

八元数のファノ平面対応についてはウィキペディアの解説がわかりやすいです。

青が球精神次元、赤が垂質次元。SU(2)の階層性。

平面波の波動関数e^i(kx-Et)を8元数で表現できるらしいです。

四元数

垂質が四元数（パウリ行列）。

パウリ行列……行列計算ってよくわかってないんですよね。
回転とは等化の本質ということですので、数学の「行列」とか使われているということなんだと思います。

行列の式って何を意味しているんだろう、と思います。

行列

行列というのは線形代数とかで有用らしいです。

逆行列というのは便利ということがわかります。

対角化、固有ベクトル、固有値、作用素、微分作用素、積分作用素、写像、逆写像、といったワードがでてきますね。

冒頭だけを見て、固有値と固有ベクトルというものがどんなものかという雰囲気だけ理解しました。

回転行列というのは、極座標のやつを、行列でいけるようにした感じですね。ベクトルということが言われてましたが、行列というのはベクトルと関係があるのかもしれません。

来ました。おなじみ（個人的に）の「3Blue1Brown」。
今回のメインである四元数の動画もこちらのチャンネルのものがあります。
ここではベクトルと行列が同じものだということがなんとなくわかりました。

ヌーソロジーと四元数

まずは3Blue1Brownの以下の動画をじっくり見てください。
東大の天才が作っている（翻訳している）動画なので、わかりやすく簡単そうに話されていても、私のような凡人には理解が追いつかないことだと思います。

この動画では、ヌーソロジーで用いられている無限遠点という概念が、コンピュータグラフィクスにより非常にわかりやすく説明されています。

四元数は複素数を4次元に拡張したものですが、3次元の回転や量子力学などで利用されている、実用的なものだと言われています。

要点をまとめておくと、次のようなことが言えます。2次元における単位円は、1次元の全質点に対応させることができるということです。それを高次元側にも適用していくことで、4次元における単位球面は、3次元の全質点に対応させることができると言えます。（ここでいう4次元の球面は、ヌーソロジーでいう3次元球面に相当し、一般に言われる球面である2次元球面よりも次元が高いものになります。）

また、同じ動画の以下の箇所が興味深いです。（24：40あたり）

ここでは4次元における単位球面（3次元球面）の回転が、3次元の私たちにどのように見えるのかということが説明されています。それはちょうど、2次元の円の回転が1次元人ライナスにとって、どのように捉えられるのか、ということに対応しています。
しかしながら、直線を捉える1次元人ライナスが2次元における円のカーブを見ることができないように、ユークリッド空間を捉える3次元人の我々は4次元における超球のカーブを見ることはできません。なので、何を捉えることができるのかというと、それは疎密波のようなものだと言えます（以下の動画を参照）。

疎密波とか、縦波や横波という感じですね。

実際に4次元のバージョンを見ると、チェック柄というか、チェス盤のような格子が歪んでいるのがわかります。
その模様は磁界あるいは電界のようにも見えますね。

磁石のまわりに砂鉄をまいたときの、あの感じです。

また、3次元球面の回転というのを「-1」の位置（無限遠点）から見た場合ということでしたが、3次元球面の点を1からiに回転（3次元からは直線移動に見える）をさせたとき、3次元球面は平面になって見えるので、3次元平面ということになるのではないでしょうか。

ヌースコンストラクションのU(1)との比較

私はヌースコンストラクションのU(1)の図を見て、疑問に思っていたことがありました。

これ、観測者周りの赤道（垂質次元）だけではなくて、中央の垂子？の部分も赤色で示されているんですよね。
しかも平行ではなく、垂直の円で表されているというのが不思議でした。

今回、四元数の観点から3次元球面の見え方の変化を、先ほどのピックアップした箇所で見ていますが、そこでも「i軸」の直線と「j-k平面」の円というのが連動していました。
数学とか物理とか詳しくないのですが、もしかするとヌースコンストラクションの赤色の部分というのは、4次元における単位球面（3次元球面）の回転ということに対応しているのではないかと思いました。動画でも同じように、垂直になっています（垂質次元の赤道は、動画における「i軸」の直線に対応しているように見えました）。

観測者がどこから見ているのか、というのがなかなか難しいところですが、i軸が直線になってますので、その無限遠点ということだと思います。
3次元球面が大きくなったり、平面になったりというアニメーションですが、ヌースコンストラクションのU(1)の赤い部分の線を面に拡張したものだと思います。ヌースコンストラクションというのは、あくまでも断面図という感じですね。

コンピュータグラフィックスのアニメーションを使うことができれば、ヌーソロジーの理解は格段に進むのではないかと思いました。

ただし、今回U(1)の赤い部分と3次元球面のアニメーションが似ているというのは、厳密な整合性が確認されたものではないため、参考程度にする必要があります。ただし、インスピレーションというか、感覚的には得るものが大きかったように思います。

余談

ヌーソロジーのおかげで、数学の面白さに目覚めてしまった……かもしれません。

リー群（Lie group）

群であり、多様体ということらしいです。
U(1)やSU(2)というのもリー群だそうです。

多様体というのは微分できる滑らかなやつ。群というのは、この動画では詳しくはわかりませんでした。

群論

群表。同型っていうのは、なんかイデアって感じがしますよね……。
準同型写像……写像……。
群、環、体……というように難しくなるらしいです。線形代数とか線形空間というのはもっと条件が厳しいとも言われています。
となると、群というのは一番簡単なのでは？という気楽さも見えてきます。


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