東大理系数学1990年大問1 通過領域(数強の頭の中)
こんにちは。狂葉です。
数強ってなんであんなにすぐ手が動くんだ？とか、
数強ってどんな思考回路してんだ？
って思ったことないですかね。
正直私はめちゃくちゃ思ってたんですよね。
こんなん何で解けるんだよ！！！ってのが本当によくありました。
これには根本的に数弱と数強で考え方の違いがあるんですよね。
ということで今回から数強の思考を丸裸にしていきましょう。
こういう考え方はなんぼ見ても良いですからね。
軽い基礎知識さえあれば数学の考え方に触れることができるように作りたいと思っています。
数学の考え方に触れて、
「すげ〜こんな考え方してたんだ!!」
ってなんとなく感じてもらえれば、いつかは数学が面白いと思えてくるはずです。
自分で数強というのも本当におこがましいですが、語感的にしっくり来たので採用しました。
自分自身、受験数学に対する言語化力は誰にも負けない気がするのでこの記事を書いてみることにしました。
正直前提知識が無い方の場合は追うことすら難しいかもしれません。
ただ流れを知っておくという意味では楽しんでいただけるのではないかと思います。
それでは早速、東大理系数学の過去問を例にして見ていこう。
実際に初見の問題に対してどういう思考をしてるのかをリアルに伝えたかったので、今まで解いたことがない問題をやってみたいと思います。
東大理系数学1990年後期大問1
【リアルな頭の中の思考】
条件を見て一見難しそうに見えますが、これは取り敢えず通過領域の問題ですね。
通過領域は基本的にパラメータを含む方程式で考えます。
問題文から、直線はパラメータについて2次であることが分かるので一般に、
①順像法
②逆像法
③包路線
で方針が立てられそうですね。(初回なので補足を入れますが、この考え方こそ受験数学で重要な思考です。いつかまとめようと思っていますが自分で消化しないと意味が無いので悩みどころです。各用語についてはリアルな思考において一々確認してる訳でもないですし、臨場感を残すために割愛です!!)
今回は問題文の条件から、敢えてQの面積4を1と3に切り分けるような直線を考えてみるのが良さそうです。
(①②③と吟味した上での判断です)
ということは逆像法を用いていきましょう。
さらに、直線はtについての方程式と見ます。
次に得られる直線は明らかに定点を通る直線です。
これだけで直線の通過範囲を考えることができそうですね。
今回は正方形を直線で分けますから、一方が三角形、もう一方が五角形、もしくは両方が四角形になる場合がありますね。
しっかり対称性を見極めた上で場合分けが必要です。
【解答】
最終的にスッキリした領域になった時は解いていて感動しました。
東大後期では標準的な難易度ですね。
前期で出されると完答できる人も少なくなってきそうです。
面積変化の連続性を考えることによって範囲を絞ることも出来そうですが、
今回はこっちの方が楽そうかな...っていう感覚的な思考で対称性(という思考パターン)を用いて分割していきました。
この判断についてもいつか記事にしたいですね〜
まぁ字は次回から清書するとしますか...。()
(参考文献)
解答がなかったのでこちらも参考にしました。
↓↓↓
少し方針は違いますが非常に参考になりました。
値は同じになっているので1完出来ましたね。
ではまた。