枯葉のカオスダンス

枯葉にヒントを得たアイデア９
一見、ただランダムに積み重なっているように見える枯葉の山だが実は様々な要因が複雑に絡み合って様子を織りなしている。その複雑な連鎖をカオス理論として解釈するとどうなるかやってみた。

【枯葉の絨毯のカオス理論的解釈】
枯葉が重なり合ってできた「葉っぱの絨毯」をカオス理論で解釈する
24/12/20 久保田達也
初期値鋭敏性:各葉っぱが木から離れる瞬間の条件（位置、角度、風の影響、葉の形状・大きさなど） 非線形性:葉っぱの落下や重なり方には、重力、空気抵抗、風、葉っぱ同士の衝突互いの運動方向や回転変化 フィードバック:既に地面に落ちている葉っぱの山は、次に落ちてくる葉っぱの運動に影響 フラクタル構造:枯葉の重なりの自己相似性からカオス的システムと仮定する。葉は質点（大きさや形は無視）、 空気抵抗は速度の2乗に比例する、風は一定方向に吹いている、地面は水平とする。 変数x(t): 時刻 t における葉の水平方向の位置 y(t): 時刻 t における葉の鉛直方向の位置 vx​(t): 時刻 t における葉の水平方向の速度 vy​(t): 時刻 t における葉の鉛直方向の速度 m: 葉の質量 g: 重力加速度 k: 空気抵抗係数 w: 風速 運動方程式 水平方向: mdt2d2x​=−k(vx​−w)(vx​−w)2+vy2​​ 鉛直方向: mdt2d2y​=−mg−kvy​(vx​−w)2+vy2​​ シミュレーション設定 初期条件を設定する: 枯葉の初期位置、初期速度、質量、空気抵抗係数 運動方程式を解く: 設定した初期条件のもとで、水平方向と垂直方向の運動方程式 着地を判定する: 枯葉の鉛直方向の位置が地面に達したら、着地と判定 軌跡を描く: 計算された枯葉の位置をプロットすることで、着地までの軌跡を描くこのように、水平方向と垂直方向の運動を考慮することで、枯葉の着地を予測するためのより詳細な情報を得ることが可能になります。 変数 x(t): 時刻 t における葉の水平方向の位置 y(t): 時刻 t における葉の鉛直方向の位置 vx​(t): 時刻 t における葉の水平方向の速度 vy​(t): 時刻 t における葉の鉛直方向の速度 m: 葉の質量 g: 重力加速度 k: 空気抵抗係数 w: 風速 初期条件 x(0)=x0​ （初期の水平位置） y(0)=y0​ （初期の鉛直位置） vx​(0)=vx0​ （初期の水平速度） vy​(0)=vy0​ （初期の鉛直速度） 運動方程式 葉に働く力と加速度の関係。 空気抵抗は速度の2乗に比例、速度の方向と逆向きに働く、 風の影響は風速 w を含める。 水平方向: m(d2x/dt2)=−k(vx​−w)√((vx​−w)2+vy2​) 鉛直方向: m(d2y/dt2)=−mg−kvy​√((vx​−w)2+vy2​) 着地判定と着地配列 数値計算 (オイラー法) x(t+Δt)=x(t)+vx​(t)Δt y(t+Δt)=y(t)+vy​(t)Δt vx​(t+Δt)=vx​(t)+(−k/m)(vx​(t)−w)√((vx​(t)−w)2+vy​(t)2)Δt vy​(t+Δt)=vy​(t)+(−g−(k/m)vy​(t)√((vx​(t)−w)2+vy​(t)2))Δt Δt は時間刻み幅 y(t)=0 になったら着地 x(t + Δt) = x(t) + v_x(t)Δt y(t + Δt) = y(t) + v_y(t)Δt v_x(t + Δt) = v_x(t) + (-k/m)(v_x(t) - w)√((v_x(t) - w)^2 + v_y(t)^2) Δt v_y(t + Δt) = v_y(t) + (-g - (k/m)v_y(t)√((v_x(t) - w)^2 + v_y(t)^2)) Δt