5-1．続･いまさらきけない方程式（基本事項）

初回は、2次以上の方程式を解くための準備をします。
以前にも紹介した

代数学の基本定理　ｎ次代数方程式の根はちょうどｎ個ある。

によって、２次方程式の根は２個で、３次方程式の根は３個あります。後ほどきちんと触れますが、「２重根」や「３重根」という概念もあります。

次に挙げる１次方程式は暗算で解けるようにしてください。無理なようであれば、書いて解いても構いません。ただ、今後は結果だけを書きます。

例．次の１次方程式を解いてください。
(1) x+3=0　　(2) x-5=0　　(3) 2x+1=0　　(4) 3x-4=0

解答例 (1), (2) は定数項を移項すれば終わりです。
(1) x=-3, (2) x=5.

(3), (4) は定数項を移項して、ｘの係数で割れば終わりです。
(3) x=-1/2, (4) x=4/3. ■

練習．次の１次方程式を解いてください。
(1) x+7=0　　(2) 3x-5=0　　(3) 2x+5=0　　(4) 4x-2=0

答え(1) x=-7, (2) x=5/3, (3) x=-5/2, (4) x=1/2. ■

次の質問に答えられますか。
「多項式を因数分解する」とは、何をすることでしょうか。

これに答えられたら、数学を学んでいると言えます。計算することはできても、何をしているか答えられない人は少なくないのです。答えを出すことに集中し過ぎてしまい、忘れてしまうようです。質問の答えは、掛け算の形（積）で表現することです。詳しくは、4-8．いまさらきけない多項式（因数分解はじめの一歩）をご覧ください。

最後に、この問題が解けますか。解けなくても気にしないでください。理由は解説の次に書きます。
問題　次の方程式を満たす未知数 x, y を求めなさい。
(1) xy=0                                          (2) 5xy=0

答え(1), (2) ともに、x=0 または y=0 です．
解説 (1) xy=0 は、x･y=0．したがって、掛けて０になるには、x か y のどちらかが０であればいいので、x=0 または y=0 となります。
(2) も 5･x･y=0 ということなので、x か y のどちらかが０であればいいのです。■

こう説明しましたが、納得できましたか。そうでない人には、次のようないい方をしたら、納得してくれるかもしれません。

「０でない２つの数を掛けて０になることはない。だから、掛けて０になるには、少なくとも一方は０でなければならない」（※１）

どうでしょうか。「いや、納得できない」ですか。もしそうであれば、それは正しく、その人が代数学を学んだら、「数学ってたのしい」と感じると思います。

なぜなら、きちんとした説明を一度もしていないのです。０の掛け算は０になることは、それらしい説明をしていると思いますが、それは直観に頼ったごまかしなのです。私ではなく、教科書がそうしているのです。説明するには、「マイナスの足し算」や「マイナスの掛け算」をきちんと理解するのと同じように、代数学の「環(ｶﾝ)」という知識が必要になるからです。数学を選択した大学の２・３年生が学ぶものなので、いまの段階ではきちんと説明することができません。ブログ『理一の数学雑談』で書くとしても、まだまだ先になります。まだ「群」の紹介しかできていないからです。

ということなので、問題の解答を認めてください。つまり、「掛けて０になるには０の掛け算になっていて、その場合しかない」を認めるのです。▢

※１　これは環論の「整域」というものです。整数はそのように組み立てられたと言った方がいいかもしれません。
詳しいことは
笠原 章郎 著『自然数から実数まで』サイエンス社　（84ページの補題2.7）
に書かれています。理解するには、別のページも読むことになります。