27.01 三角関数（準備①弧度法と扇形）

導入

三角関数の準備なのに弧度法コドホウは結構高いハードルです。弧度法は角の大きさの表し方の一つなのですが、小学３,４年生以来用いてきた角度が思考の邪魔をするのです。
　　　　　　　　「なぜこれまでの角度はダメなの？」
という素朴な質問に答えるには高校数学Ⅲの微分まで学ぶ必要があります。ここで言えることは、これまでの角度は図形に内在しているものではなく、365日 (約360日) で地球が太陽を一周する外的要因から作られたものです。一方の弧度法は図形に内在しているものなので数学的には有難いのです。

これまでの角の測り方は度数法ドスウホウと呼ばれます。１周を360等分したのを１度と決めているので、だいたい１日で太陽の周りを移動する角の大きさに相当します。
一方の弧度法はアナログ時計を見ていると思いつくであろう測り方で、円弧エンコの長さを利用して角の大きさを決めるのです。

※ 弧度法の理解があいまいのまま三角関数に突入するのは、掛け算九九があいまいのまま分数計算をするようなものです。

弧度法

すべての円は相似です。そこで、円の半径と等しい長さを円上に取り、この円弧に対する中心角を１弧度（１ラジアン）と定義します。円弧と中心角は比例するので(下の13.3を参照)、円弧が半径の θ倍 なら中心角は θラジアン です。
※ 弧度よりラジアンが使われ、ラジアンは英語で radian [réidiən] 、弧度のことです。

１[rad] は１ラジアンの意

この定義で理解できれば相当優秀です。ここからしばらくは定義の説明なので、理解できた人は先（問題１）に進んでください。

弧度法を理解するための説明

さて質問です。上図の∠AOBと∠PCQの大きさを定義に従って １ラジアン と書いていますが、この２つの角が等しい理由を説明してください。

説明　角が等しいことをいうには何を示せばよいでしょうか。
扇形OABと扇形CPQが相似であることが分かる人はこれが理由です。
これで納得できない場合は次の説明になります。
∠AOBと∠PCQの円周に対する割合をそれぞれ求めてみると

　　　円Oの円周は$${2\pi}$$なので、∠AOBの割合は$${\dfrac{1}{\:2\pi\:}}$$です。

　　　円Cの円周は$${2\pi r}$$なので、∠PCQの割合は$${\dfrac{r}{\:2\pi r\:}=\dfrac{1}{\:2\pi\:}}$$です。

だから ∠AOB＝∠PCQ となります。▮
　　【基礎知識】　円の長さ(円周の長さ)＝直径×円周率 ($${\pi}$$) 　（※1）

これによって判ったことは、半径の大きさに関係なく１ラジアンが定義できるということです。半径が５なら円弧の長さ５に対する中心角が１ラジアンとなります。この理解で正しいのですが実用的ではありません。半径が５で２ラジアンのとき、角の大きさが見当つきますか。このように使い勝手がよくありません。

次のように考えると分かりやすくなります。
弧度法で角の大きさが表現されたら、半径１の円の円弧の長さに対する中心角が角の大きさです。
例えば、２ラジアンであれば半径１の円上に２の長さの円弧を取り、これに対する中心角が２ラジアンです。
θラジアンであれば半径１の円上にθの長さの円弧を取り、これに対する中心角がθラジアンです。

問題１　弧度 θ の取り得る値の範囲をいえ。

答え　$${0 \leqq \theta \leqq 2\pi}$$
理由（定義にしたがった説明）
半径ｒの円であれば、円の長さは$${2\pi r}$$なので円弧$${l}$$の取り得る値の範囲は$${0 \leqq l \leqq 2\pi r}$$です。したがって中心角の取り得る値の範囲は半径ｒで割って
　　　　　　　　　　　　$${\dfrac{0}{\:r\:} \leqq \dfrac{l}{\:r\:} \leqq \dfrac{\:2\pi r\:}{r}}$$.
したがって弧度 θ の範囲は
　　　　　　　　　　　　　$${0 \leqq \theta \leqq 2\pi}$$.  ▮

理由（半径１の円で考えた説明）
半径１の円であれば、円の長さは$${2\pi}$$なので円弧$${l}$$の取り得る値の範囲は$${0 \leqq l \leqq 2\pi}$$で、中心角も$${0 \leqq \theta \leqq 2\pi}$$.  ▮

※これでも分かるように、弧度は半径１の円で考える方がよいのです。
私の知るかぎり、専門書は半径１で弧度法を説明しています。
過去に『数学雑談』で弧度法の話を書いているので下線をクリックしてみてください。

注意

弧度法で角の大きさを表すとき、単位のラジアンは最初のうちだけで大抵は省略されます。
　　　　　　「単位を省略すると分からないんじゃないの？」
と思うかもしれませんが、無い方が便利なのです。気づいた人もいると思いますが、半径１の円で考えていると円弧の長さと角の大きさは単位が異なるだけで一致していますね。なので弧度法で表された角の大きさは、中心角の大きさと読み取ってもよいし、半径１の円の円弧の長さと読み取ってもよいのです。都合のよい方に読み取れるのだから単位は無くていいのです。

よく使う弧度

１周の角の大きさ･･･$${2\pi}$$　　　　　　　半周の角の大きさ･･･$${\pi}$$

直角の角の大きさ･･･$${\dfrac{\:\pi\:}{2}}$$　　　　　　　直角の半分の角の大きさ･･･$${\dfrac{\:\pi\:}{4}}$$

半周の３等分の角の大きさ･･･$${\dfrac{\:\pi\:}{3}}$$　　　左記の角の半分の大きさ･･･$${\dfrac{\:\pi\:}{6}}$$

注１：暗記が好きなら暗記をしてください。
　　暗記が嫌いなら半径１の円を描き、その横に円の長さを書き入れ
　　円を半分にします。これを半分、半分すれば $${\dfrac{\:\pi\:}{2}}$$, $${\dfrac{\:\pi\:}{4}}$$.

　　三等分、３等分の半分 (６等分) すれば $${\dfrac{\:\pi\:}{3}}$$, $${\dfrac{\:\pi\:}{6}}$$ を得ます。

毎回下図のようにすれば角の大きさの感覚が自然と身に着けられます。

どうしても度数法で表したい

度数法を弧度法に換算したいなら次の要領で出来ます。
　　　例１　$${\frac{\:2\pi\:}{3}}$$を度数法で表す方法
　　　　弧度法の１周の角は$${2\pi}$$、度数法の１周の角は360°だから

　　　　　　　　　　　360°：$${2\pi}$$＝$${x}$$：$${\dfrac{\:2\pi\:}{3}}$$

　　　　と比例式を立てて解けばよい。解くと $${x}$$＝120°．

　　　例２　135°を弧度法で表す方法
　　　　上と同じように

　　　　　　　　　　　360°：$${2\pi}$$＝135°：$${x}$$

　　　　と比例式を立てて解けばよい。解くと $${x=\dfrac{\:3\pi\:}{4}}$$．

※弧度法を理解すればこのように解けます。なお三角関数の話の中で度数法は出てきません。弧度法を知らない人に度数法で伝えるのには意味がありますが、自分で使うならいちいち換算しません。

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マガジンには高校数学Ⅱの指数と対数、微分と積分も掲載予定です。応援してくれるとうれしいです。