30.06 積分の初歩（定積分と面積）

前回の知識を踏まえて、定積分を利用して面積を求める方法を紹介します。定積分の計算ができる前提で話を進めるので、計算が分からない場合は状況に応じ 30.02不定積分の計算、30.03定積分の計算、30.04定積分の計算の工夫などで確認してください。

定積分で本当に面積が求められるの？

数学的に解決するには、現段階では知識が足りないのですが、どうもそうらしいことは確認できます。そこで

例１　２直線$${y=x+3, \: x=4}$$ および $${x}$$軸, $${y}$$軸で囲まれた部分の面積について考えてみます。
図にしてみると

となり、色のついた部分が求めたい面積$${S}$$です。
色のついた図形は台形なので、面積公式で求めることができます。

　　　　　　　　　　　$${S=\dfrac{\:(3+7)\cdot 4\:}{2}=20.}$$

次に、積分を利用して求めてみます。直線$${y=x+3}$$と$${x}$$軸および２曲線$${x=0, \: x=4}$$に挟まれているので (式のつくり方はこのあと話します)

　　$${S=\displaystyle \int_0^4 (x+3)dx=\big[\dfrac{\:1\:}{2}x^2+3x\big]_0^4=\dfrac{\:1\:}{2}(4^2-0^2)+3(4-0)=20.}$$

２つの結果が一致しているので、定積分を利用して求められそうだということが確認できました。▮
納得できないと思いますが、いまは正しいと認めて先に進みましょう。どうしてもきちんと知りたいという場合には ※１を参考に本を読んでください。

式の立て方（基本）

上の図は曲線$${f(x)}$$と$${x}$$軸および２直線$${x=a, \: x=b}$$で囲まれた部分に色を付けたものです。その中の赤い線については後ほど説明します。

色の付いた部分の面積を$${S}$$とすると

　　　　　　　　　　　　　$${S=\displaystyle \int_a^b f(x)dx}$$

となります。これで分かる人は先に進んでください。ただ１つ注意して欲しいのは、曲線が区間$${a\leqq x\leqq b}$$で$${x}$$軸よりも上側にあることです。

マガジン６ 数Ⅱ【三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分｜理一の数学事始め｜note