32.10 ２次曲線（演習問題A）

※ 2025.1.28 2⃣ の別解を加筆しました。

理解を深めるための問題で、難易度は教科書の章末問題くらいです。前回の問題よりは少し計算がたいへんですが基本知識があれば解けると思います。

基本演習

1⃣　$${t}$$をパラメーターとするとき，パラメーター表示

$${x=t-\dfrac{1}{\:t\:},\:\: y=t^2+\dfrac{1}{\:t^2\:}}$$

はどのような曲線を表すか答えよ．

2⃣　極をＯとし，点Ａの極座標を$${(2, 0)}$$とする．点Ａを通り，始線OXと$${\dfrac{\:\pi\:}{3}}$$の角を成す直線の極方程式を求めよ．

3⃣　直線$${x=-1}$$に接し，点$${\text{A}(1, 0)}$$を通る円の中心を$${\text{P}(x, y)}$$とするとき，点Ｐの軌跡を求めよ．

4⃣　方程式$${x^2+y^2+2tx-4ty+5t^2-t=0}$$が円を表すように実数$${t}$$が変化するとき，円の中心の軌跡を求めよ．

5⃣　双曲線$${x^2-4y^2=4}$$上の点で点$${(5, 0)}$$に最も近い点の座標およびそのときの距離を求めよ．