33.04 複素平面（基本演習）

前回までの内容が複素平面の基礎となります。今回はそれを踏まえ、理解を深めるために問題を考えてもらいます。

解けなかったとしても考えることで理解が深まります。数学の利点はいつでもどこでも考えられるところです。電車の中、トイレの中、歩きながらでも考えられます。

基本演習

1⃣　２つの複素数$${\alpha, \: \beta}$$が複素平面上に与えられているとき，次の複素数を同一の複素平面上に図示せよ．
(1) $${-\alpha}$$　　(2) $${\alpha+\beta}$$　　(3) $${\alpha-\beta}$$　　(4) $${\beta-\alpha}$$

2⃣　次の計算をせよ．
(1)  $${2(\cos\dfrac{\:5\pi\:}{12}+i\sin\dfrac{\:5\pi\:}{12})(\cos\dfrac{\:\pi\:}{12}+i\sin\dfrac{\:\pi\:}{12})}$$

(2)  $${\dfrac{\:\sqrt{3}(\cos\dfrac{\:11\pi\:}{18}+i\sin\dfrac{\:11\pi\:}{18})}{2(\cos\dfrac{\:5\pi\:}{18}+i\sin\dfrac{\:5\pi\:}{18})}}$$

3⃣　$${z=\cos\dfrac{\:\pi\:}{5}+i\sin\dfrac{\:\pi\:}{5}}$$のとき，次を満たす角$${\theta}$$の値を求めよ．
ただし，$${0\leqq \theta<2\pi}$$とする．
(1)  点$${iz}$$は点$${\bar{z}}$$を原点を中心に$${\theta}$$だけ回転させたものである．

(2)  点$${-z}$$は点$${z^2}$$を原点を中心に$${\theta}$$だけ回転させたものである．

4⃣　点$${\sqrt{3}+i}$$を次の角だけ原点を中心に回転させたときの点を求めよ．
(1)  $${\dfrac{\:\pi\:}{3}}$$　　　　　(2)  $${-\dfrac{\:5\pi\:}{6}}$$　　　　　(3)  $${\dfrac{\:4\pi\:}{3}}$$

5⃣　$${\alpha=2+3i}$$とする．原点Oを直角の頂点とする直角二等辺三角形の頂点の１つが点$${\alpha}$$であるとき，第３の頂点を表す複素数を求めよ．

6⃣　複素平面上に原点を中心とする円に内接する正三角形があり，その頂点の１つが$${1+2i}$$である．このとき，他の２頂点を表す複素数を求めよ．