32.11 ２次曲線（演習問題Ｂ）

難易度は教科書の章末問題くらいですが、演習問題Aよりは少し難しい問題です。どうしても解けない場合はヒントを頼りに考えてみてください。

演習問題Ｂ

1⃣　$${t}$$をパラメーターとするとき，次のパラメーター表示はどのような図形を表すか答えよ．

(1)  $${x=2\sqrt{t}, \:\: y=\sqrt{t}-2t}$$　ただし，$${t\geqq 0}$$とする．　　

(2)  $${x=\dfrac{1}{\:t^2+1\:}, \:\: y=\dfrac{t}{\:t^2+1\:}}$$

2⃣　中心の極座標が$${(3, \dfrac{\:\pi\:}{6})}$$で半径が３である円の極方程式を求めよ．

3⃣　直線$${y=-x+k}$$が楕円$${4x^2+y^2=4}$$と異なる２点Ａ,Ｂで交わるように実数$${k}$$が変化するとき，線分ABの中点Ｐの軌跡を求めよ．

4⃣　原点を中心とし，焦点を$${x}$$軸上にもつ楕円上の点をＰとする．短軸の両端と点Ｐを結ぶ直線と$${x}$$軸との２交点をＡ,Ｂとするとき，$${\text{OA}\cdot \text{OB}}$$が一定の値を取ることを証明せよ．

5⃣　楕円$${x^2+4y^2=4}$$上の点Ｐと直線$${x+2y=3}$$上の点Ｑについて，２点間の距離$${\text{PQ}}$$の最小値を求めよ．

6⃣　２直線$${kx-y=0, \:\: x+2ky=4}$$の交点をＰとする．実数$${k}$$が正の範囲を動くとき，点Ｐの軌跡を図示せよ．