複利の力…つみたてNISAの注意点

NISAがツイッターのトレンドに上がっており、なにかと思ったらどうもNISAの制度をまたいじると。

そんな中、このツイートはとても分かりやすいと思った。

つみたてNISAをすると、お金は「複利の力」で増えますが、"手数料"も複利で増えます。甘く見ると大損です。 pic.twitter.com/8tIwf6G63T

— ねこみち｜毎日図解でお金を学ぶ (@Tomojidien) November 18, 2022

元のツイートが消えるといやなので画像保存させてもらった。ここに貼り付けておく。

信託報酬は低いほどいいというのは私も理屈ではわかっていたが、自分で実際に数値計算をしたことはなかった。これほど具体的な数字を出してもらうと実に分かりやすい。

しかし、本当にこれであっているのか？というのは一応疑ってみた。安易に信じて、違っていたらいやだからね。

複利計算で必要なのは、高校数学で習う等比数列の和。文系でもやりますからね。よくわからない人は結論だけでいいと思うが、それならば上のツイートを信じて終わりにすればいい。

もっとも、以下でやることは、どんな複利計算でも成り立つので、途中の式は飛ばして、結論の公式だけ見てもらってもいい。Excelでそのまま貼り付ければいい形にも書いておく。

まず手数料なしの場合を考える。積立預金でも何でも複利計算ならば成り立つ式。

毎年入金する額をａ、利息をｒとする。上のツイートの例では、毎月3.3万円なので1年分ではａ＝3.3万×12=39.6万、ｒ=0.04になる。

1年目の総額Ｓ1は、
 Ｓ1=ａ
2年目の総額Ｓ2は、
 Ｓ2＝a+Ｓ1+Ｓ1×r=a+Ｓ1(1+r)=a+a(1+r)
3年目の総額Ｓ3は、
 Ｓ3＝a+Ｓ2+Ｓ2×r=a+Ｓ2(1+r)=a+(a+a(1+r))(1+r)=a+a(1+r)+a(1+r)^2

以下同様にしていくと、n年目の総額Ｓnは、初項a、公比1+rの等比数列の和であることがわかる。すなわち、
 Ｓn=a(1-(1+r)^n)/(1-(1+r))=a((1+r)^n-1)/r
となる。

み、見づらい…。

とりあえず、具体的に数値を代入してみると、n=40、ａ=39.6万、ｒ=0.04として、つまり、毎年39.6万円を年利4%で40年間預けるといくらになるかというと、
 Ｓ40=39.6万×(1.04の40乗-1)/0.04=39.6万×およそ95=3760万

利息がなければ39.6万の40年で40倍のところ、複利効果で95倍になってます。つまり4%でたいしたことなさそうなのが、実は利息なしの場合の95/40=2.375倍ですね。これが複利の力です。

40年間預けると書いたけども、40年後の総額は41年目にはもう積み立てていないとすると、上の額にさらに(1+r)倍したものになります。r=0.04ならば、95×1.04=98.8 さらにすごくなってる！

Excelで計算したい場合は、
　何年積み立てるかをA1のセルに、
　毎年積み立てる額をA2のセルに、
　利息を小数で（1%ならば0.01）をA3のセルに
入力して、以下の式をそれ以外のどこかのセルに書けばよい（コピペすればよい）。
=A2((1+A3)^A1-1)/A3

さて、以上は手数料ゼロの場合。ここからは運用手数料である信託報酬を引いた場合の計算。

実際の信託報酬をどう計算しているか私は知らないのだが（※）、

（※）参考サイト：信託報酬について

と、一夜明けてここまで書いて、このあとの間違いに気づいた。

積立預金はあっているはずだけど、このあとの信託報酬を引いた場合の計算の間違いに気づいた。つまり、そのツイートの額、間違っている。

とはいえ、もともと投資信託が一定の4%の利息で増えていくわけではないので、あくまでシミュレーションなわけなのだが。

はっきり言えるのは、777万円まではいかないということ。どうやったら777万円になるかを示すこともできるが、いったん今日はここまで。タイムアップ。朝ご飯これから食べる。