特訓のブルース【自由だ〜】

お疲れさまです。とうしゅうです。
最近とある事情が重なって3ヶ月で400回くらい特訓して素材がバイバイしました笑
ホントこのゲーム特訓大変ですよね(*_*)
そんな特訓を私は基本90％でやることが多いんですが、これには特訓は何％でやっても同じという背景があります。何％でやるかは…自由だ〜！
今回はそんな話をします。
簡単な考え方をやった後、理論的な部分までいきます。
※表記確率が正しいことを前提とします。

100回やってみる

まず、特訓成功率90％で100回特訓を行った場合を考えます。特訓成功率90%なので、100回特訓すれば90回くらい成功すると考えて良いですかね。この時90％分を100回消費するので9000％分の素材を消費します。

サムネは犬井ヒロシさんという方です

一方、成功率100％で90回特訓を行った場合、確定で90回成功します。この時も、100％分を90回消費するので9000%分の素材を消費します。

〇〇のブルースというネタで「自由だ〜！」と叫ぶのが特徴です

結局、同じ90回成功するのに要する素材は両方9000%分でした。同じ回数成功するために消費する素材は90%でやっても100%でやっても期待値的には同じになるってことです。

犬井さんの中身はサバンナ高橋さんです

普通の感覚では、失敗した10回分の素材を損しているように感じるでしょう。90％分×10回で900％分、つまりB特訓コーチ180枚分の損失です。しかし同時に、90%で特訓をする時は100％でやる時よりも毎回10％分の素材、つまりB特訓コーチ2枚分を節約しています。失敗の損失と同じ分だけ毎回節約できていると考えることができますね。

これは他の特訓成功率でも当てはまります。成功率60%で100回やるのと、成功率100%で60回やるのも消費する素材は同じ6000%分となります。実際は何%でやろうと、結局消費する素材の量は期待値上同じになるのです。

一般化してみる

次に確率$${p}$$で特訓をする際、1回成功あたりに消費する素材の量を考えてみます(ただし$${(0< p  {\leqq}  1)}$$)。確率$${p}$$で特訓する時には毎回$${100×p}$$%分の素材を消費しますね。$${p=0.9}$$なら$${100×p=90}$$で$${90}$$%分といった感じです。

あとは確率$${p}$$で1回成功するのに平均して何回かかるかがわかればよいのですが、これはズバリ$${\frac{1}{p}}$$回となります。例えば$${p=\frac{1}{4}}$$(25%)の時であればだいたい$${\frac{1}{\frac{1}{4}}=4}$$回に1回成功するといった感じで、割と直感的だと思います。

そして特訓成功1回あたりに消費する素材の量は、「1回あたりの消費量」×「1回成功あたりにかかる回数の平均」となるので$${100p×\frac{1}{p}=100}$$。これは確率$${p}$$の値に関わらず1回あたりの消費量の期待値が$${100}$$%分で一定あることを示しています。

そんなんあたりめーだろ！って思う方もいると思いますが、一応ここが今回の核心の部分です笑。成功までにかかる回数が消費素材(確率)の逆数になってるところがポイントですね。直感的にわかるという人も多いかもしれませんが、最後のオマケに「$${\frac{1}{p}}$$回」の部分の証明も載っけてあります。

100%は？

特訓は何％でも期待値上は一緒だよという話をしてきました。もちろん100％でも良いということですが、それだとちょっと損なんですよね。
基本的にレベルマックスのAとレベルマックスのBではピッタリ100％にならなくて、基本的には5％の素材2枚を入れて100％にすると思います。

これがB特訓コーチなら良いですが、Bレベル1を使うのは明らかにもったいないです。レベルマックスにすれば3倍の15％の素材になるわけですから、5％で使うのは損だと思いますね。(とある方の言葉を借りれば富○のやり方w)

特訓1.5倍の時なんか100％にすらなりませんから、無理して調整しようとしたり100％超えたりしたらよくないです。100％までなら何％でも一緒ですから、手持ちの素材でやりやすい％でやるのがいいと思います。逆に良い組み合わせがあれば100％も全然問題ありません。

もちろん100％の方が確実に決まってくれて、それ未満の％は不確実性が伴ってくるという点において100％じゃなきゃ！という気持ちはあると思います。ただ特訓なんてアホほどやらされるので最終的にほぼ収束すると考えて良いと考えています。

100％でやるかどうかは…自由だ〜！
特訓 is freedom♪ 特訓 is freedom♪
以上です。ありがとうございました

オマケ。

確率$${p}$$で1回成功するのに平均して$${\frac{1}{p}}$$回かかるってホント？な人のために証明も置いておきます。
まず確率$${p}$$で$${k}$$回目に初めて成功する確率を考える
$${k-1}$$回連続で失敗した後成功するので

$$
(1-p)^{k-1}p
$$

1回成功あたりにかかる回数の期待値($${E}$$とする)は、この$${k}$$が$${k=1,2,3…}$$のすべての場合について、値$${k}$$とその時の確率をかけたものを足し合わせた総和であるから

$$
\begin{array}{}
E&=&\displaystyle\sum_{k=1}^\infin{k(1-p)^{k-1}p}                                                                                      \\\\
&=&1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)^2p+…
\end{array}
$$

ここで$${E}$$に$${1-p}$$をかけた値を考えると

$$
\begin{array}{}
                      E&=&1p+2(1-p)p+3(1-p)^2p+…\\\\
(1-p)E&=&　         1(1-p)p+2(1-p)^2p+…
\end{array}
$$

辺々をひくと

$$
pE=1p+(1-p)p+(1-p)^2p+…
$$

よって両辺$${p}$$で割って、無限等比級数の和を求めれば

$$
\begin{array}{}
E&=&1+(1-p)+(1-p)^2+…=\frac{1}{1-(1-p)}\\\\
&=&\frac{1}{p}                                                                                                                        
\end{array}
$$

証明終わり。
これは幾何分布の期待値の証明と同じで、上記以外の方法もありますのでぜひ調べてみてください(^^)