【2024年大学入試数学】共通テスト数学ⅡB(本試)を解いてみた

受験に向けての勉強お疲れ様です。大学入試数学を個人的に研究しているきりんです。今回は2024年共通テスト数学ⅡBを解いてみたので、感想をまとめたいと思います。問題文は予備校等の公表しているものを参照してください。この記事では、問題ごとに自分の感じた難易度を付けています。まだこの問題を解いてないという人は過去問としての価値が下がってしまうので、見ないようにしましょう。

【難易度】
(簡単)　A　⬅️　➡️　E　(難しい)
で表していきます。目安としては
Aレベル：正答率80~100%
Bレベル：正答率60~100%
Cレベル：正答率40~60%
Dレベル：正答率10~40%
Eレベル：正答率0~10%(捨て問)

1.　全体概観

今年の共通テスト数学ⅡBは去年よりやや難しくなったと思います。出題は以下の通りです。()内のアルファベットは難易度の指標です。

第１問　〔１〕対数関数、領域(B)　〔２〕多項式(C)
第２問　微分、積分(D)
第３問　統計(C)
第４問　数列(C)
第５問　空間ベクトル(B)

正しいグラフを選ぶ問題や、難易度の高い内容を誘導付きで解くなどのように、思考力を要する問題がかなり多かった印象があります。また、三角関数からの出題が一切なかったのがちょっと衝撃でした。

2.　第１問

〔１〕対数関数のグラフ、対数方程式・不等式が表す領域（対数関数・領域、B）

第１問〔１〕は２部構成になっており、(1)は対数関数のグラフの概形についての問題、(2)は対数方程式・不等式の表す領域を図示するという問題でした。どちらも対数関数の基本を押さえていれば解ける問題です。
(1)は$${y=\log_k x}$$と$${y=\log_2 kx}$$のグラフが$${k}$$の値によってどのように変化していくかを見る問題でした。$${y=\log_k x}$$に関しては丁寧な誘導があり、ぜひ正解したいところ。$${y=\log_2 kx}$$に関しては、

$${y=\log_2 kx=\log_2 x+\log_2 k}$$

となることから、$${y}$$軸方向にしか動かないことに気付けば簡単な問題でした。
(2)は$${\log_x y}$$のとる値に応じて、$${(x,y)}$$はどのような領域を動くかを考える問題でした。(i)の$${\log_x y=2}$$に関しては、対数の定義を用いて$${y=x^2}$$としてあげれば簡単です。(ii)の$${0<\log_x y<1}$$がやや厄介な問題で、対数不等式は底の値が１より大きいか小さいかでだいぶ変わってきます。そのため、$${0<x<1}$$の場合と$${x>1}$$の場合とで場合分けが生じます。
(※ここから少し雑談です。読み飛ばしても構いません。)
(ii)で図示した領域は対数の定義により、グラフ$${C_t: y=x^t\ (x>0,\ y>0)}$$の$${t}$$を$${0<t<1}$$で動かしたときに通過する領域を示していることになります。$${y=x^2}$$や$${y=x^3}$$のグラフは$${0< x< 1}$$において直線$${y=x}$$の下側を通り、$${x>1}$$において直線$${y=x}$$の上側を通るのに対し、$${y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}}$$や$${y=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}}$$のグラフは$${0< x < 1}$$において直線$${y=x}$$の上側を通り、$${x>1}$$において直線$${y=x}$$の下側を通るということを示しています。考えてみれば当たり前ですね。

〔２〕多項式を２次式で割った余りが定数となることと同値な条件（多項式、C）

今年の数学ⅠAで出題されなかった必要条件・十分条件がここで少し顔を出してきました。多項式の問題は共通テスト・センター試験ではだいぶ珍しく、後で述べる第２問と並ぶくらい思考力を要する問題となっています。
(1)は割り算を実行するだけで答えが求まりますので、完答したいところ。
(2)で一般の多項式$${P(x)}$$を２次式$${S(x)}$$で割るということを考えます。(i)はかなり共通テストっぽい問題で、個人的にはかなり好きです。仮定となる条件とそこから導かれる条件を区別するという問題で、２次試験をこれから受験していくという人たちにとっては是非わかっておいてほしい問題です。ここで仮定となっているのは

• 余りが定数、つまり$${P(x)=S(x)T(x)+k}$$と表されること

• $${\alpha,\ \beta}$$が$${S(x)=0}$$の解、つまり$${S(\alpha)=S(\beta)=0}$$であるということ

の２つです。この条件から、$${P(\alpha)=P(\beta)=k}$$が導かれるわけです。(ii)ではこの逆も成り立つのかどうかを確かめます。この問題でも論証力を試されることになります。こういう数学力の本質を確かめる問題はどんどん出していってほしいと思います。
(3)は(2)で導いた定理を使ってみましょうという問題です。さっき見た定理を整理してみると、

　多項式$${P(x)}$$を２次式$${S(x)}$$で割った余りが定数となるための必要十分条件は、方程式$${S(x)=0}$$の解$${\alpha,\ \beta}$$に対して、

$${P(\alpha)=P(\beta)}$$

が成り立つことである。

となります。これを活用してときましょう。

3.　第２問

積分を含む関数のグラフ（微分・積分、D）

今年度最難関の問題はおそらくこれでしょう。最後まで解ききることができなくても仕方ありません。ここで扱う３次関数は

$${S(x)=\displaystyle\int^x_03(x-1)(x-m) dx\ \ (m>1)}$$

であり、積分を計算することもできますが、積分を計算せずそのまま考えた方が分かりやすいという問題になっています。微分・積分の関係に慣れていない文系受験者にとっては相当しんどいと思います。
とはいえ、(1)は微分したり積分するだけですのでなんとか拾っていきたいところ。(ii)の極値をとる$${x}$$の値は$${S(x)'}$$を計算しなくても$${f(x)}$$のグラフからわかります。
(2)から雲行きが怪しくなります。面積$${S_1,\ S_2}$$というものの大小関係から$${S(x)}$$のグラフの形を推測するという問題です。誘導問題から、$${S_1}$$というのは$$S(1)$$の値のことで、$${S_2}$$というのは$${S(1)-S(m)}$$のことと読み取れればグラフを絞ることができます。例えば、$${S_1=S_2}$$のときは$${S(1)=S(1)-S(m)}$$、つまり$${S(m)=0}$$となります。$${x>m}$$のとき、$${S(x)>0}$$が言えることも併せて確認しておく必要があります。
(3)は３次曲線の点対称性が背景にある問題で、知らなかったという人はこれを機に理解してください。(3)の誘導で

$${S(1-p)+S(m+p)=S(1)+S(m)}$$
 $${2S(\frac{1+m}{2})=S(\frac{1+m}{2}+q)+S(\frac{m+1}{2}-q)}$$

が成り立つことを示しますが、この２つの式は$${y=S(x)}$$のグラフが点$$(\frac{1+m}{2},\ S(\frac{1+m}{2}))$$に関して点対称であることを表しています。実際この点は$${S''(x)=0}$$となる変曲点と呼ばれる点で、３次関数は変曲点に関して対称であるという性質があります。実はこの性質、難関大の問題等で非常によく使える知識となっているので、是非押さえておいてください。

4.　第3問

日曜日が晴れである確率を分析する（統計、C）

非常に日常的なテーマの問題でした。２部構成になっており、(1)は普通の統計の問題、(2)はやや確率よりの問題でした。
(1)では大きさ300の標本の母平均に対する信頼度95％の信頼区間を求めるだけの問題で、練習をしてきた人たちにとっては余裕でしょう。
問題は(2)です。ちょうど３週晴れになる確率を求めるというテーマです。かなり本格的に統計分析をしているので、何をしているのかさっぱりわからないという人も多かったのではないでしょうか。ちょうど３週続けて晴れになる事象を１、それ以外の事象を０としているので、期待値はつまり、ちょうど３週続けて晴れになる確率のことを指していることになります。ちょうど３週続けて晴れになるのはどんなときか、$${k=4,\ 5}$$の場合で書き出してみるとカ〜クまでは埋まります。ただ次は$${k=300}$$の場合で、流石に書き出せません。問題文中に$${(k,\ E(U_k))}$$は１直線上にあると書かれているため、$${(4,\ E(U_4))}$$と$${(5,\ E(U_5))}$$を通る直線の式を導出して$${k=300}$$を代入するという流れになると思います。

5.　第4問

解けない漸化式を元に数列を予想する（数列、C）

(1)、(2)のように典型的な漸化式だけではないということを教えてくれる問題でした。漸化式は前の項との関係を表す式ということを念頭に解いていきましょう。
先ほど述べた通り(1)、(2)は典型問題なので落とせません。
(3)は見たことのないタイプです。漸化式は以下の通りです。

$${(c_n+3)(2c_{n+1}-c_n+3)=0}$$

要は、$${c_n+3=0}$$または$${2c_{n+1}-c_n+3=0}$$が成り立つということです。(i)では数値代入だけで終わりますが、ここであることに気がつくと思います。それは、「ある自然数$${k}$$に対して、$${a_k=-3}$$となるとき、$${n\leqq k}$$のとき、$${a_n=-3}$$となる」ということです。つまり、数列中に$${-3}$$が登場したら必ず$${a_1=-3}$$ということです。これは(iii)の命題Aとして書かれています。そして、$${-3}$$となった次の項の値は任意の数である(つまり１つに定まらないということ)ということが(ii)で分かります。これらの情報を元に(iv)の真偽を判定していきます。かなり思考力を要する問題で、これぞ共通テストといった感じの問題でした。

6.　第5問

２直線を動く点の距離の最小値を求める（空間ベクトル、B）

今年のベクトルの問題は第４問とは異なり、非常に典型的な問題でした。解いたことのある受験生がほとんどだったと思います。直線$${l_1}$$上の点Pに対して、OPの長さが最小となるようなPを求めるというものですが、求める方法としては

• $${|\overrightarrow{\text{OP}}|^2}$$を計算して最小値を求める

• $${\overrightarrow{\text{OP}}}$$と直線$${l_1}$$が直交する

を用いますが、すでに花子さんと太郎さんと言っていましたね。
(3)は２動点になりますが、基本方針は全く同じです。$${|\overrightarrow{\text{PQ}}|^2}$$を計算して最小値を求めるか、(1)で$${\overrightarrow{\text{AB}}\cdot\overrightarrow{\text{CD}}=0}$$を確認したので、$${\overrightarrow{\text{AB}}}$$と$${\overrightarrow{\text{CD}}}$$の両方に直交するPQを考えれば良いですね。計算量が若干多いです。

7.　最後に

今年の数学ⅡBは本格的な数学に近づいてきたなという印象でした。第２問の微分積分の問題はかなり高難易度だったと思います。来年からは名称が数学ⅡBCとなって複素数平面が入ってきます。試験時間も70分に変わります。統計分野を選ぶ人が増える気がするので、来年はどんな問題が出るのか楽しみです。

ここまで読んでくださりありがとうございました。受験生の方はこれからの勉強も頑張ってください。