数学問題20
$${n}$$ を $${2}$$ 以上の自然数とする。1 個のさいころを $${n}$$ 回投げて出た目の数を順に
$${a_1, a_2, \dots, a_n}$$ とし、
$$
K_n = |1 - a_1| + |a_1 - a_2| + \dots + |a_{n-1} - a_n| + |a_n - 6|
$$
とおく。また $${K_n}$$ のとりうる値の最小値を $${q_n}$$ とする。
$${K_2 = 5}$$ となる確率を求めよ。
$${K_3 = 5}$$ となる確率を求めよ。
$${q_n}$$ を求めよ。また $${K_n = q_n}$$ となるための $${a_1, a_2, \dots, a_n}$$ に関する必要十分条件を求めよ。
$${\large📊 難易度評価と解答時間目安 📊}$$
$${\boxed{🔹難易度：★★★★☆（やや難）}}$$
この問題では、さいころの出目の変動を考慮した最小経路の探索 が必要になります。
特に、絶対値の総和が最小となる条件を見極めることが重要 になります。
$${\underline{\large✔理由}}$$
・（1）$${K_2 = 5}$$ となる確率を求める。
・（2）$${K_3 = 5}$$ となる確率を求める。
・（3）$${q_n}$$ を求め、最小値を達成するための条件を明らかにする。
$${\underline{\large✔どのレベル向け？}}$$
・大学受験（確率・場合分けが得意な人向け）
・数理パズルや最適経路問題に興味がある人向け
$${\underline{\large⏳解答時間目安}}$$
・ 数学が得意な人：30～40分
・ 一般的な受験生：50～60分
・ 数学が苦手な人：解答するのが難しい
$${\underline{\large💡難所ポイント}}$$
・$${K_n}$$ の絶対値の総和の最小値を求める部分。
・$${K_n = q_n}$$ となる経路の条件を見つける部分。
$$
\begin{Vmatrix}✨\\
\bold{場合分けを正しく行い}\\
\bold{ 最小値を見極めよう！}\\
✨\end{Vmatrix}
$$
$${\large📝解答・解説📝}$$
【(1) $${K_2 = 5}$$ となる確率】
① $${K_2 = 5}$$ の定義
・ さいころの出目 $${a_1, a_2}$$ に対して、
$${K_2 = |1 - a_1| + |a_1 - a_2| + |a_2 - 6| = 5}$$
を満たす確率を求める。
② 絶対値の性質を考慮
・最小の変動で 6 へ到達するには $${K_2}$$ をなるべく小さくする必要がある。
・可能な経路：
・ $${1 \to 3 \to 6}$$（$${|1-3| + |3-6| = 2 + 3 = 5}$$）
・ $${1 \to 4 \to 6}$$（$${|1-4| + |4-6| = 3 + 2 = 5}$$）
③ 確率の計算
・ さいころの出目は $${1, 2, 3, 4, 5, 6}$$ の等確率。
・ $${a_1 = 3}$$ の確率は $${\frac{1}{6}}$$、$${a_2 = 6}$$ の確率も $${\frac{1}{6}}$$。
・ 同様に、$${a_1 = 4}$$、$${a_2 = 6}$$ の場合も $${\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}}$$。
したがって、
$${P(K_2 = 5) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}}$$。
【(2) $${K_3 = 5}$$ となる確率】
① $${K_3 = 5}$$ の条件
・ $${K_3 = |1 - a_1| + |a_1 - a_2| + |a_2 - a_3| + |a_3 - 6| = 5}$$
② 絶対値の考察
・経路の可能性
・ $${1 \to 2 \to 3 \to 6}$$
・ $${1 \to 2 \to 4 \to 6}$$
・ それぞれの確率を計算すると、
$${P(K_3 = 5) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54}}$$。
【(3) $${q_n}$$ を求め、最小値を達成する条件を求める】
① $${q_n}$$ の計算
・ $${K_n}$$ の最小値は、最も変動が小さい場合に発生する。
・ 最適経路：
・ 一直線に増加する経路 $${1, 2, 3, ..., 6}$$
したがって、
$${q_n = 6 - 1 = 5}$$。
② $${K_n = q_n}$$ となる条件
・ $${a_1 = 1}$$、$${a_n = 6}$$ を満たし、
・ $${a_1, a_2, ..., a_n}$$ が単調増加する（$${a_i \leq a_{i+1}}$$）。
$${\large🌟ワンポイントアドバイス🌟}$$
✅ 確率と最適経路のポイント！
・絶対値の総和を最小化する経路を考える！
・場合分けを正しく行い、確率を正確に計算する！
$$
\begin{Vmatrix}✨\\
\bold{場合分けと最適解の}\\
\bold{ 見極めをマスターしよう！}\\
✨\end{Vmatrix}
$$
