数学問題13
$${a, b, c > 0}$$ とする。
（1）不等式 $${8abc \leqq (a + b)(b + c)(c + a)}$$ を示せ。
（2）$${x = b + c - a}$$, $${y = c + a - b}$$, $${z = a + b - c}$$ とするとき、$${a, b, c}$$ をそれぞれ $${x, y, z}$$ で表せ。
（3）不等式 $${(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \leqq abc}$$ を示せ。
$${\large📊 難易度評価と解答時間目安 📊}$$
$${\boxed{🔹難易度：★★★★☆（やや難）}}$$
この問題では、不等式の証明、変数変換、代数的な操作 が必要になります。特に、対称式の扱いと因数分解の工夫 が鍵となる問題です。
$${\underline{\large✔理由}}$$
・（1）では、対称式の不等式を証明する。
・（2）では、変数変換による式の表現を求める。
・（3）では、（2）で求めた表現を利用し、不等式を証明する。
・代数的な変形の正確性と不等式の証明技法が求められる。
$${\underline{\large✔どのレベル向け？}}$$
・大学受験レベル（数学オリンピック基礎レベル）
・不等式・代数の深い理解が必要な数学好き向け
$${\underline{\large⏳解答時間目安}}$$
・数学が得意な人：20～30分
・一般的な受験生：40～50分
・数学が苦手な人：解答するのが難しい
$${\underline{\large💡難所ポイント}}$$
・（1）：不等式の形を工夫し、適切な証明方法を見つけられるか。
・（2）：変数変換の計算ミスをしないこと。
・（3）：不等式の変形を正しく適用できるか。
$$
\begin{Vmatrix}✨\\
\bold{不等式の証明の技法}\\
\bold{を活用しよう！}\\
✨\end{Vmatrix}
$$
$${\large📝解答・解説📝}$$
【(1) 不等式 $${8abc \leqq (a + b)(b + c)(c + a)}$$ の証明】
相加相乗平均の不等式より、
$${\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}, \quad \frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc}, \quad \frac{c + a}{2} \geq \sqrt{ca}}$$
が成り立つ。
これらを掛け合わせると、
$${\left( \frac{a + b}{2} \right) \left( \frac{b + c}{2} \right) \left( \frac{c + a}{2} \right) \geq \sqrt{(abc)^3}}$$
となる。
整理すると、
$${\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} \geq abc}$$
すなわち、
$${8abc \leqq (a + b)(b + c)(c + a)}$$
が示された。
【(2) 変数変換：$${a, b, c}$$ を $${x, y, z}$$ で表す】
$${x = b + c - a, y = c + a - b, z = a + b - c}$$
を足し合わせると、
$${x + y + z = 2(a + b + c) - 2(a + b + c) = a + b + c}$$
となる。
各変数を求めると、
$${a = \frac{y + z}{2}, \quad b = \frac{z + x}{2}, \quad c = \frac{x + y}{2}}$$
となる。
【(3) 不等式 $${(a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) \leqq abc}$$ の証明】
左辺の括弧の中身を変数変換を用いて表すと、
$${(a + b - c) = z, (b + c - a) = x, (c + a - b) = y}$$
である。
したがって、与えられた不等式は
$${xyz \leqq abc}$$ となる。
$${a, b, c}$$ を（2）の式に代入すると、
$${abc = \left( \frac{y+z}{2} \right) \left( \frac{z+x}{2} \right) \left( \frac{x+y}{2} \right) = \frac{(y+z)(z+x)(x+y)}{8}}$$ である。
したがって、不等式は
$${xyz \leqq \frac{(y+z)(z+x)(x+y)}{8}}$$ となり、
これは（1）で示した
$${8xyz \leqq (x+y)(y+z)(z+x)}$$
に一致するので、証明完了。
$${\large🌟ワンポイントアドバイス🌟}$$
✅ 不等式の証明テクニック！
・相加相乗平均不等式（AM-GM）を活用する！
・変数変換を適切に行い、計算ミスを防ぐ！
・元の不等式と類似の形を見つけ、証明の方向性を明確にする！
$$
\begin{Vmatrix}✨\\
\bold{不等式の証明技術を磨き}\\
\bold{解答の精度を高めよう！}\\
✨\end{Vmatrix}
$$
