空間とは何か（4-1） 非ユークリッド幾何学発見における空間（前半）

非ユークリッド幾何学の発見とは一体何なのか？

ユークリッドの平面幾何学はユークリッド平面、すなわち我々が普段現実のものとして普通に理解している「平らな面」に基づいて展開されている。すなわち、それは我々の視覚的所与としての平面というわかりやすいモデルと、そこで観察される幾何学的現象がもとになっている。ユークリッド『原論』第1巻の定義や公準（第五公準（＝平行線公理）も含む）などといった、いわゆる仮定（ヒュポテシス）も、そういった視覚的・現実的所与があって、それによって組み立てられているからこそ、誰でも当然で正しいものとして受け入れることができる。

そしてそうだからこそ、今まで（特に「空間とは何か（３）」で）見てきたように、ユークリッド幾何学はその空間認識がいかに不完全なものであっても、健全な理論を設計することができた。

しかし、19世紀前半に複数の人々（ガウス、ボヤイ、ロバチェフスキー）によって発見された（そして後者二人は公に宣言した）非ユークリッド幾何学においては、当初はユークリッド平面モデルのようなわかりやすいモデルがなかった。非ユークリッド幾何学の（部分）モデルが最初に提唱されるのは1868年頃のベルトラミによる擬球モデルからである。フルモデルが登場するのはクラインやポアンカレによる円盤上のモデルからで、これらは3次元ユークリッド空間に埋め込まれた曲面論からガウスのTheorema Egregiumを経て、計量のみによる空間というリーマンによる空間概念の現代化を経なければ、そもそも多くの数学者にとって十分に納得のいく空間モデルであるとすら認識されなかっただろう。

すなわち、非ユークリッド幾何学の発見者たちは、空間モデルのない状況でも、何らかの理由と根拠によって新しい幾何学の存在を確信した●●●●わけだ。その確信は、もちろん（ゲーデルの不完全性定理を持ち出すまでもなく）数学的な根拠に基づくものではない。通説では、彼らは「平行線公理を否定する公理から出発しても、矛盾のない●●●●●幾何学を構築できることを発見した」と言われるが、彼らは「矛盾がない」ことを証明したのではない。

そもそもユークリッド幾何学ですら、その「無矛盾性」は非自明な問題である。それにもかかわらず我々がユークリッド幾何学の正しさ●●●●を疑わないのは、それが（上述したような）目にも鮮やかなモデルをもつからだ。

それでは、非ユークリッド幾何学の発見者たちは、目にみえる空間がない状況でどのようにして、新しい空間の幾何学を見出すことができたのだろうか？彼らの理論を学ぶことで、この問いに対する回答が得られるかもしれない。そして、それは「空間とは何か」という我々の中心テーマにも、新しい示唆を与えることになるだろう。

というわけで、私は彼らの理論を学んでみたいと思った。しかし、世のほとんどの文献では（おそらくわかりやすさへの配慮から）後述するホロサイクルやホロ球面のような重要な概念や、平行角の明示公式のような重要事実を、最初から双曲幾何学のモデルを用いて説明している。これでは「モデルによらない空間の概念形成」という我々の問題に答えることができない。非ユークリッド幾何学を発見したと宣言した人たちは、どのようにして、そして何を根拠にして彼らの確信を得ることができたのだろうか？それを知るには、実際に彼らの論文を読んでみることが、どうしても必要だ。

そこで、以下ではロバチェフスキーやボヤイの考え方について、彼らの原論文に即して詳しく検討してみようと思う。アウトラインについては両者の論文を参考にするが、数学的な詳細については主にロバチェフスキーの「平行線論」（1840年）を基軸とした。そしてその後、彼らによる見えない空間●●●●●●の幾何学構築の過程を踏まえて、「空間とは何か」という我々の問題意識についても論考を加えてみようと思う。

特に最後の部分では、以前書いた「数学における発見のプロセス」で述べた、以下の点に注目する。

① 「もどき」の出現
② 足場となる基本定理
③ 既存の事実との類似
④ 枯渇せず増大し続ける末端的事実

このうち最初の2点（①と②）をこの回（前半）で述べて、後の2点（③と④）を次回（後半）で述べる。「空間とは何か」という問題意識については、前半と後半を通じてしばしば論考を挿入していきたい。

以下では、寺坂英孝『数学の歴史 19世紀の数学 幾何学I』（共立出版、1981）第2章をもとにして話を進める。ただ、その過程で私なりの読み替え・解釈も若干加えることを注意しておく。ロバチェフスキーやボヤイの論文は数学的にも高度で難しく、その隅々まで水ももらさぬ説明をするのはさすがに大変である。そこで原論文ではちゃんと論証していることも、直観的に正しさが伝わると思われる部分は直観的な説明だけにとどめることにしようと思う。

平行角

ロバチェフスキーやボヤイの議論を理解する上で、もっとも基本的ですべての議論の出発点となるのは「平行角」の概念である。

ユークリッド『原論』では、平行線とは「同一の平面上で両側にどこまで延長しても交わることのない2直線」として定義されていた（ユークリッド『原論』第1巻定義23）。ロバチェフスキーやボヤイは、平行線公準（第五公準）の仮定を外した一般的な状況で、平行線の定義を次のように修正●●する。

図1. 平行線と平行角

定義．直線$${a}$$上にない点$${\mathrm{P}}$$から$${a}$$に下した垂線の足を$${\mathrm{H}}$$とする。点$${\mathrm{P}}$$から一方（例えば右）に半直線$${b}$$をひく。半直線$${b}$$が直線$${a}$$に平行であるとは
・半直線$${b}$$は直線$${a}$$と交わらない
・$${\angle\mathrm{P}}$$の内部に引いた任意の半直線は直線$${a}$$と交わる
このとき、$${\angle\mathrm{P}=\theta}$$を$${\mathrm{PH}=x}$$に対する平行角と呼び、$${\Pi(x)}$$と書く。

この定義の自然性は、平行線公準の意味を理解している人には明らかだ。平行線公準（ユークリッド『原論』第1巻公準5）は、上記の状況で点$${\mathrm{P}}$$を通り直線$${a}$$に平行な直線は唯一だと主張する。もし、この公準を否定するのであれば、その唯一性が成り立たないので、（ユークリッド『原論』の意味の）平行線は多く存在する。そこで、そのような平行線たちの中で境界スレスレのところ、それ以上傾けてしまうともはや直線$${a}$$と交わってしまうというギリギリのところのものを、改めて平行線と定める●●●●●●●●●●のである。そして、その際得られる角度$${\theta}$$は線分$${\mathrm{PH}=x}$$に依存する量なので、これを平行角$${\Pi(x)}$$と呼ぶわけだ。

だから、ユークリッド幾何学においては$${\Pi(x)}$$は$${x}$$によらず定数$${=\pi/2}$$に等しい（これは第五公準に同値である）。第五公準を否定する幾何学（非ユークリッド幾何学）においては、これは鋭角（$${<\pi/2}$$）になる。

こうして「平行」の意味は新しいものに置き換えられるわけだが、従来の意味（ユークリッド『原論』第1巻定義23における意味）での「平行」は、以下では広義の平行と呼んで区別することにしよう。

N.B. 平行角の存在については、一見してロバチェフスキーもボヤイも明示的には論証していない（おそらく必要はないと感じていた）。図1で半直線$${b}$$が直線$${a}$$と交わるならば、角度$${\theta}$$を少しだけ増大させても半直線$${b}$$が直線$${a}$$と交わる（交点が少しだけ右に移動する）だろう。したがって、そのような$${\theta}$$の上限$${\theta_0}$$をとる（実数論の公理を使っている）と、その状況では半直線$${b}$$は直線$${a}$$と交われないことになる。その$${\theta_0}$$が平行角である。

この「新しい」平行の概念においても、ユークリッド幾何学における平行概念と同じく、対称律と推移律が満たされる。

（対称律）$${a}$$が$${b}$$に平行ならば$${b}$$は$${a}$$に平行である。
（推移律）$${a}$$が$${b}$$に平行で$${b}$$が$${c}$$に平行ならば$${a}$$は$${c}$$に平行である。

このタイミングで、ロバチェフスキーやボヤイが到達する結論をザッと要約すると、以下のようになる。

① 平行角$${\Pi(x)}$$を$${x}$$の関数として決定する。
② その上で、平行角を用いた三角関数の間の関係式をいくつか導き、それらがある定数$${K}$$（曲率）の$${K\rightarrow 0}$$による極限で、通常のユークリッド幾何学の定理に帰着することをみる。

（これらの結論は、本稿ではなく後半で詳しく述べられる。）

N.B. すぐに感得できるように、平行角関数$${\Pi(x)}$$は、非ユークリッド幾何学においては長さ$${x>0}$$と角度（ラジアン）の開区間$${(0,\pi/2)}$$の間の連続な単調減少関数を定める。このことは実はとても重大な意味をもっている。実際、それは長さと角度が1対1に対応しているという驚くべきことを意味しているからだ。角度にはラジアン（とか弧度法）という絶対的な単位が存在しているが、ユークリッド幾何学においては長さの絶対的な単位というものは存在していなかった（我々の度量衡においてもそうである）。非ユークリッド幾何学においては、角度が長さを決める。つまり、長さの絶対的単位が存在することになる。このことはすでに非ユークリッド幾何学の発見者たちに先行する人々にも気付かれていたが、多くはそれを根拠として「非ユークリッド幾何学は矛盾した幾何学である」という認識を持っていた。しかし、非ユークリッド幾何学の発見者たちはそのようには考えず、むしろこの関数を実際に決定するという方向へ舵を切った。この点は、非ユークリッド幾何学の発見者たちのパイオニア性を特徴づける一つの重要な観点である。