放送大学「量子物理学」の理解のために
学部１年くらいの方が、この講義を理解するための記事です。
０．状態の重ね合わせとシュレーディンガの猫
よく言われる「０と１の重ね合わせ」では、何のことか分からない
と思います。要はベクトルの「和」なのです。
１をベクトル(1,0) で表し、０を (0,1)で表すと、
その和は、(1,1) であり、このベクトルの大きさを１に揃えたものを
「０と１の重ね合わせ」
と呼んでいるだけです。
「シュレーディンガの猫」は、主に以下の意味で使われます。
「生」をベクトル(1,0) で表し、「死」を (0,1)で表すと、
その和(1,1) ＝「生と死の重ね合わせ」は、我々の世界(マクロ世界)
で存在するか？ という話です。
この問題は、NTTの実験でマクロとミクロの中間領域では、
存在することが確かめられています。
https://www.brl.ntt.co.jp/J/2016/11/latest_topics_201611042223.html
また、マクロな素子をもつ量子コンピュータが動作すること自体
が、マクロ世界に「重ね合わせ」が存在することの証明と思います。
したがって、この教科書のp321 中段
「マクロなレベルではシュレーディンガの猫状態は存在しない」 と言い切るのは、おかしいと思います。
ここで引用している1986年の「Yurka - Stoler論文」は、
「コヒーレンス状態でなければ、猫状態は存在しない」
と言ってるだけで、
マクロであっても、はなから(t=0)から「コヒーレンス状態でない」
とは、言ってないはずです。
１．速習 線形代数 → ヒルベルト空間
ベクトル空間とは、以下を満たす集合である
（和も定数倍も、結果が自集合に含まれる ということがミソ）
・任意の２つの元u,vの和も、自集合に含まれる。
・任意の元vの定数倍も、自集合に含まれる。
・v+0=0+v=v, 0v=v0=0 という「０ベクトル」が存在する。
（大きさ(ノルム)や距離や積は定義してもしなくてもよい）
ベクトルの１次独立・１次従属
https://note.com/kafukanoochan/n/n5c88d2a438e4
線形変換、固有ベクトル、固有値
量子力学では、固有値が測定値になるので
固有値を求めることは、重要です。
https://note.com/kafukanoochan/n/ne4b20e285095
内積空間と正規直交基底
https://note.com/kafukanoochan/n/nd17f6e8ce600
ヒルベルト空間
完備な内積空間が、ヒルベルト空間です。
（Ｒ^n や Ｃ^n はOK。しかし Q^nはダメ）
完備とは、厳密には「コーシー列」で定義されますが、
内積空間の場合は、任意の元(ベクトル）の和が、必ずその内積空間
に含まれることです。
例えば、有理数のベクトル空間Q^2 の場合、
(1,1) のノルムは√2 ですが、(√2, 0) というベクトルはQ^2には
存在しないので、Q^2（一般にQ^n）は完備でないです。
量子力学は、完備な内積空間上のベクトルと、それに対する
演算子をベースにした「物理量を演算子とする力学理論」です。
２．速習 解析力学 → ハミルトン方程式、正準共役
解析力学について速習するには 西野友年先生の
「ゼロから学ぶ解析力学」をお勧めします。
ラグランジアンが「運動エネルギー－位置エネルギー」と
書けるとすると、ハミルトニアンＨは、
「運動エネルギー＋位置エネルギー」になり、
ハミルトンの正準方程式（正準運動量＝Ｐ_q ただし q=x,y,z）
∂Ｈ/∂Ｐ_q = dq/dt ∂Ｈ/∂q = －dＰ_q/dt
を満たします。
これらの変数ｑとＰ_qの組は、互いに正準共役であると言います。
シュレーディンガ方程式^Eψ(q,t) ={ (^Ｐ_q)^2/2m + V(q) }ψ(q,t) で
^Ｐ_q＝ -ih'∂/∂q と置けるのは、正準共役である必要があります。
３．波動関数のちゃんとした定義
現代で言う「波動関数」は、わけのわからない物質波でも、
シュレーディンガ方程式の解そのもの でもありません。
ψ(q) と書いた場合、状態ベクトルの「物理量演算子qの固有空間」
への射影で定義されます。つまり、
ψ(q) |q> = |q><q|ψ>
のψ(q) が、ｑ表示の波動関数 です。
シュレーディンガ描像では、これが、シュレーディンガ方程式
に従って時間変化（時間発展）して行くとします。
４．状態ベクトルと「状態」の関係
状態ベクトルは、エルミート内積空間の元であり、
０ベクトルも状態ベクトルの１つである。
「状態」は、状態ベクトルの長さ(ノルム)を１に
規格化した射線であるので、「状態」に０ベクトルは含まれない。
また、「状態」の定数倍は、同じ「状態」なので、
状態空間（状態の集合）は、ベクトル空間ではありません。
５．量子力学の５つの公理(要請)
以下、清水明「新版量子論の基礎」による。
Ⅰ 系の純粋状態は、ある複素ヒルベルト空間Ｈの
規格化された「射線」で表される
Ⅱ 可観測量は、Ｈ上の自己共役演算子によって表される
自己共役演算子＝エルミート演算子とは限りません。
Ⅲ 状態|ψ>について、物理量Aの「誤差がない（無視できる）」
測定を行った時、測定値はAの固有値のどれかに限られる
その確率は「ボルンの確率規則」に従う。
Ⅳ 閉じた系の時間発展は、状態|ψ>が変化する描像では、
シュレーディンガ方程式に従う（ユニタリ発展）
物理量演算子が変化する描像では、
ハイゼンベルグの方程式に従う（ユニタリ発展）
Ⅴ 測定後の状態|ψ2>は、射影仮説に従う（非ユニタリ発展）
６．描像（表示）と形式
表示には、状態が時間変化(時間発展)するシュレーディンガ表示と
物理量(演算子)が時間発展するハイゼベルグ表示 があります。
形式には、波動関数と行列によるものがあります。
ハイゼベルグ表示では、行列形式だけですが、
シュレーディンガ表示では、どちらの形式でも記述できます。
「表示」といっても、波動関数を「位置表示の」とか書いてあるので
文脈に注意が必要です。
尚、教科書によって、表示のことを「描像」、形式のことを「表示」
と書くものが、かなりあります。