[清水量子 放送大学編] 古典論から量子論へ

古典物理学の限界

古典論の破綻には、テキストで取り上げられている「原子の安定性」以外に
「黒体輻射が紫外域で∞になる」
「比熱の低温での変化」
「光電効果」
があります。
ラザフォードの実験で、当時主流だった原子の「ぶどうパンモデル」
（ランダム運動する電子の「スープ」に原子が点在しているモデル）
は、否定されましたが、なぜ「ぶどうパンモデル」だったかと言うと
「電子が円運動すると電磁波が放射されエネルギーを失う」
ことがすでに知られていたので、「太陽系モデル」や「土星モデル」
のようなものは、論外だったのだと思います。
これらの破綻が、量子力学でどう解消されたかは、
放送大学教材「量子と統計の物理」に詳しく載っています。
（ただし理解するには解析力学や統計力学に習熟している必要あり）

電子のスピンの測定（測定結果とその状態）
電子のスピンが、もし、コマのような物体であるなら
（わからないだけで）必ず１つの方向を指すことになります。
回転軸の方向を±１とすれば、「+y方向のスピンを持つ」状態では
y方向に＋１がでる確率＝100%　なら、
z方向で＋１がでる確率＝0%、－１がでる確率＝0%（確実）
になるはずです。
しかし、上記の測定結果は、
y方向に＋１がでる確率＝100%の時、
z方向はバラバラで＋１、－１がでる確率＝50%ずつ
になり、合いません。
つまり、電子のスピンを１つの数値で表すことが無理なのです。
じゃ、２つの数値の組＝ベクトルではどうでしょう。
（２つでダメなら３つ、４つにして行列という手も）
とりあえず、y方向に＋１がでる確率＝100%の時：(c1, 0)
y方向に－１がでる確率＝100%の時：(0, c1)
としてみると、
c1 は、複素数を考えていますが、どうも１のようです。
そこで、＋１が100%でる場合：(1, 0)、－１が100%でる場合：(0, 1)
と仮定し、＋１になる確率は、そのベクトルの(1, 0)成分。
－１になる確率は、そのベクトルの(0, 1)成分と仮定してみます。
ベクトルの成分の大きさは、内積の値（一般に複素数）になりますが、
確率なら、複素数ではマズイので、確率=内積の値とその複素共役との積
＝絶対値の２乗  とします。
y方向に＋１が100%でる場合の確率は、そのベクトルを(c1, 0)とすると
＝|(1, 0)・(c1, 0)|^2＝|c1|^2＝１　　∴ (c1, 0)＝(1, 0)
この時、－１がでる確率＝|(0, 1)・(1, 0)|^2＝０
また、z方向が＋１、－１がでる場合（確率＝50%ずつ）は
そのベクトルを(c2, c2)とすると、
z方向に＋１がでる確率＝|(1, 0)・(c2, c2)|^2＝|c2|^2=1/2
z方向に－１がでる確率＝|(0, 1)・(c2, c2)|^2＝|c2|^2=1/2
つまり、c1=c2=1/√2 であり、
ベクトル(1/√2, 1/√2)が、＋１や－１が50%ずつ出る場合です。
一般に(√a, √b)が、＋１が確率a、－１が確率b で出る場合になります。

ベルの不等式（古典論と量子論の本質的違い）
ベルの不等式（CHSH不等式）：
<A(θ)B(φ)>＋<A(θ’)B(φ)>－<A(θ)B(φ’)>＋<A(θ’)B(φ’)> ≦２
の左辺は、物理的意味は特にないのですが、その値は
AやBの測定の直前の状態について、
① 「状態には、相反する(固有)状態が一方しか含まれていない」
　なら２以下
　つまり、常に状態は相反しないどれかに定まっている。
② 「状態の（確率や期待値に関係しない）干渉成分が
　相反する固有状態の両方を含む」なら 2√2 以下
となります。
つまり、値が２から 2√2 以下では、
「状態は、相反するどちらにも定まっていない」
ことになります。
この①と②の条件は、ベルの不等式でなくても言え、
これが、「古典論と量子論の本質的違い」です。

量子論の基本的枠組み
(iii) に「すべての物理量の測定値の確率分布を与えるもの」
を物理状態とする　とありますが、
この定義では、測定値の確率が同じであれば、
干渉成分がない状態も、ある状態も同じ
と勘違いする人がいると思います。
測定結果が１つだけの状態（確率100％）か、または
干渉成分を最大限含む状態を「純粋状態」
そうでない状態を「混合状態」
特に、干渉成分が全くない状態を「古典的混合状態」
と言います。

同じ確率分布｛P(a)｝を与える理論は等価な理論か？
ベルの不等式の場合を除けば、同じ{P(a)}を与える「隠れた変数を持つ理論」
は作れます。
こういう古典論を拡張した理論を「局所実在論」といいます。
常に（ベルの不等式の場合でも)「同じ確率分布｛P(a)｝を与える理論」
は、等価な理論と言えそうですが、
ｐ172にあるように「情報(や力)が光速を越えて伝わるような理論」
は、除くことが前提です。
ボーム理論というのがそれで、量子ポテンシャルという場が
光速を越えて力を及ぼす（＝因果関係）ことにより、
ベルの不等式の値が、量子力学の場合と同じになります。
ボーム理論には、光速を越える因果関係があることになりますが
量子力学には、ベルの不等式の各相関の値は、
相関関係があるだけで因果関係はありません。