純粋状態の定義の公理をテンソル積に拡張する

純粋状態の定義の公理とは

純粋状態と状態ベクトルの関係を表す公理で、
清水本での５つの要請（公理）の１つです。
１．純粋状態
　　　量子系の純粋状態は、あるヒルベルト空間の規格化された
　　　射線で表される。
　　　ヒルベルト空間の元(状態ベクトル)そのものではない
　　　ことに注意
規格化が必要なことより、ヒルベルト空間の元(状態ベクトル）
には、Nullベクトルが必須ですが、Nullベクトルは、
「状態」を表さないことがわかります。
（意味のある状態がないとも言える）
何かを掛けたものも、同じ状態（射線）を表すとすると
| 何か |＝１ですから、「何か」＝exp(ｚ) です（ｚは複素数）

２．テンソル積の状態ベクトル

状態ベクトルは１つの量子系の状態を表し、
複数の状態ベクトルのテンソル積は、
それぞれの量子系からなる合成系の状態を表す。

３．単位ベクトルはテンソル積の状態を変えない？

状態ベクトルのテンソル積において、
何かを掛けたものも、同じ状態を表すとすると
| 何か |＝１ですから、「何か」＝exp(ｚ) ですが、
これはスカラーで、ベクトルではありません。
なので、「単位行列」を使うことを考えます。
状態ベクトルのテンソル積の密度行列を
ρとすると、ρの対角要素を変えない「何か」は
「単位行列 I」となります。
N次の単位行列は「等確率で干渉項＝０のN次密度行列」
のN倍ですから、古典的混合状態を、N次の Σ |c><c|
とすると、そのN倍と言えます。
混合状態は、一般にヒルベルト空間を大きくとると
等価な純粋状態にでき、これは状態ベクトルで表せます。
これを「混合状態の純粋化」といいます。
（堀田昌寛「量子情報と時空の物理」１.４参照）
その結果は、上記 Σ |c><c|＝Σ_{n=1 to N} |c_n><c_n|
に対して、N本の単位ベクトルを｜I_n> とすると、
Σ_{n=1 to N} |c_n>|I_n> = 1/N Σ_{n=1 to N} |I_n>|I_n>
= |I >＝単位ベクトル
が、単位行列と等価な状態ベクトルです。
つまり、大きいが等価なヒルベルト空間をとれば、
単位ベクトルとの積は、テンソル積の状態を変えない
のです。
したがって、状態ベクトルのテンソル積において、
「何か」を掛けたものも、同じ状態を表すとすると
「何か」＝ exp(ｚ)単位ベクトル
です。（ｚは複素数）
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