【論文紹介】高次元データセット向けの新しい獲得関数REI
生成AIを使用してまとめています
1. 研究の背景と目的
本研究では、高次元ベイズ最適化（BO）の信頼領域（trust region）選択を改善するために、新しい獲得関数「Regional Expected Improvement（REI）」を提案している。従来のBOは高次元問題において評価回数の制約から性能が低下しがちであり、特に信頼領域ベースの手法では局所最適に陥る問題があった。そこで、REIはグローバル最適解を含む可能性の高い領域を特定し、より効果的な探索を実現することを目的としている。
2. 提案手法（REI）の特徴
REIは、従来のBOで一般的に使用されるExpected Improvement（EI）を領域全体で平均化したものを獲得関数とする。このアプローチにより、局所的な改善点に偏ることなく、グローバルに有望な信頼領域を特定できる。また、理論的解析により、REIが最適な信頼領域を特定する能力を持つことが証明されている。さらに、TuRBO（Trust Region Bayesian Optimization）にREIを組み込むことで、既存のBO手法よりも高次元問題において優れた性能を示すことが確認された。
3. 実験結果
本研究では、以下のような実験が行われた：
• 中程度の次元（17〜32次元）: HPA（Human-Powered Aircraft）の設計最適化問題において、TuRBO-REIが従来のTuRBOや他の高次元BO手法よりも良い結果を示した。特に、信頼領域の適切な選択により、最適解への収束が速くなった。
• 高次元（60〜124次元）: 探査ロボットの軌道計画やMOPTA08（124次元）問題においても、TuRBO-REIは他の手法と同等かそれ以上の性能を発揮した。ただし、次元が増加すると信頼領域の再選択回数が減少し、REIの効果が限定的になることが観察された。
4. 研究の結論と今後の展望
本研究の結果から、REIは中〜高次元のベイズ最適化において有効であり、特に問題の特性が事前に分からない場合でも安定した性能を発揮することが示された。一方で、高次元問題では信頼領域の更新頻度が減るため、より効果的な探索手法の開発が今後の課題となる。例えば、探索回数の制限や次元の管理を組み合わせることで、より効率的な最適化が可能になると考えられる。
このように、REIは高次元最適化における新たなアプローチとして有望であり、産業界の設計最適化や機械学習のハイパーパラメータ探索など幅広い応用が期待される。
補足1
この論文における「高次元（high-dimensional）」とは、説明変数（設計変数、入力変数）が多いことを指しています。具体的には、次元 D が10を超えるような場合を高次元問題と定義しています。
論文内では、通常のベイズ最適化（BO）が高次元では性能が低下する理由として、以下の点を挙げています：
• 設計変数の数 D が増えると、探索すべき設計空間のサイズが指数関数的に増大する（「次元の呪い」）。
• 限られた回数の評価（関数呼び出し）で、高次元空間全体を適切に探索することが困難になる。
• Gaussian Process（GP）ベースのBOでは、全次元のモデルを維持するのが計算的に困難になる。
このため、従来の高次元BOでは次元削減や部分空間探索などのアプローチが採られてきましたが、本研究では信頼領域（trust region）を適切に選択することで、高次元空間全体を効率的に探索するという新しい視点を提案しています。
補足2
Gaussian Process（GP）ベースのベイズ最適化（BO）では、高次元になると計算的に困難になる主な理由は以下の3点に集約されます。
1. GPの計算コストが急増する
GPモデルは、すべての評価点間の共分散行列（カーネル行列）を利用して、関数の予測を行う手法です。この共分散行列の計算には、以下のような計算量の問題が生じます：
• 共分散行列の構築コスト： O(n^2 D)
• n は評価点（サンプル数）、 D は次元数（設計変数の数）。
• 共分散行列は n \times n のサイズで、各要素は D 次元の距離を計算して求めるため、次元数が増えると計算コストが増加する。
• GPの予測時の計算コスト： O(n^3)
• GPでは、共分散行列 K の逆行列 K^{-1} を求める必要があり、その計算量は O(n^3) となる。
• 高次元では、サンプル数 n を増やさなければ精度を確保できないため、結果として計算コストが急増する。
これらの影響により、例えば n = 1000 の場合、通常の方法では 共分散行列の計算に数秒から数分の時間がかかる ことがある。特に高次元では、より多くのサンプルが必要になるため、GPのスケーラビリティがボトルネックになる。
2. カーネル関数のハイパーパラメータ最適化が困難になる
GPのカーネル関数（共分散関数）には、スケールパラメータや長さ尺度（length-scale）などのハイパーパラメータが多数存在する。これらは、ベイズ最適化の過程で適切に調整する必要があるが、高次元では次の問題が発生する。
• 次元ごとに異なる長さ尺度を考慮すると、ハイパーパラメータの数が O(D) となる
• 例えば、各次元に独立したRBFカーネル（Gaussianカーネル）を使う場合、次元数 D に応じた長さ尺度 l_1, l_2, …, l_D を学習する必要がある。
• D が大きくなると、適切な長さ尺度を見つけるのが難しくなり、ハイパーパラメータの最適化が不安定になる。
• 次元数が増えると、過剰適合（overfitting）が発生しやすくなる
• 高次元では、サンプル数 n に比べて説明変数の数 D が多いため、GPが学習するカーネルのパラメータが過剰適合しやすくなる。
• その結果、新しい点の予測精度が低下し、BOの最適化効率が落ちる。
3. 高次元空間ではGPのモデル精度が低下する
高次元の設計空間では、GPが十分に学習できるデータ密度を確保するのが難しくなる。
• 「次元の呪い」により、データの疎密バランスが崩れる
• BOは通常、限られた回数（数百〜数千回）の評価 で最適解を見つけることを目的とする。
• しかし、次元数 D が大きくなると、探索すべき領域が指数関数的に増加し、限られた評価回数では十分なデータを収集できない。
• その結果、GPの予測の不確実性が増し、BOの収束が遅くなる。
• GPのカーネルが高次元では適切に機能しなくなる
• 多くのカーネル関数（特にRBFカーネル）は、すべての次元に対して等しく影響を与える前提で設計されている。
• しかし、高次元では重要な変数とそうでない変数が混在するため、非重要な変数によって距離計算が誤った結果を導きやすい（= 不適切な類似度評価をしてしまう）。
• これにより、BOが適切な探索方向を見つけるのが難しくなる。
補足3
**信頼領域（Trust Region）**とは、最適化アルゴリズムにおいて、現在の情報をもとに「有望だと判断された範囲」内で探索を行うための制約領域のことを指します。特に、本論文では高次元のベイズ最適化（BO）において、効率的に最適解を探索するために用いられます。
1. 信頼領域の基本的な考え方
ベイズ最適化では、評価コストの高い関数（例：シミュレーション、実験など）を最小限の回数で最適化することが目的です。しかし、次元数が大きくなると、探索すべき設計空間が指数関数的に増えるため、全体を無作為に探索するのではなく、有望な範囲（信頼領域）を決めて、その中で探索を進める戦略が重要になります。
信頼領域の特徴
1. 局所的な探索を強化する
• 既存のデータをもとに「現在の最良点の近くに良い解がある可能性が高い」と判断した範囲を選び、その中で新たなサンプルを取得する。
2. 探索範囲を動的に調整する
• 新しい評価点を追加し、その結果に応じて信頼領域のサイズや位置を更新する。
• 改善が見られれば領域を広げ、改善が止まれば領域を縮小する。
3. 局所解に陥るリスクを低減
• 小さい範囲での探索を続けると局所最適に陥る可能性があるため、適切なタイミングで信頼領域を変更（リスタート）することで、より広範な探索を可能にする。
2. 本論文における信頼領域の定義
本論文では、**TuRBO（Trust Region Bayesian Optimization）**という手法を基に、信頼領域を動的に調整しながら最適化を行います。
信頼領域の決め方
信頼領域は、現在の最良解（中心点）を基準にして、**高次元空間内の高密度な探索を行うための「ハイパーキューブ（高次元立方体）」**として定義されます。
• 初期状態では、大きめのハイパーキューブ（例えば、各次元で [0,1] の範囲を持つ）を設定。
• 探索の進行に応じて、改善が見られた場合は信頼領域を拡大、改善が見られなかった場合は縮小する。
• **探索が行き詰まったら、新しい信頼領域を設定（リスタート）**し、別の有望な領域を探索する。
信頼領域の更新ルール
1. 改善が続く場合 → 信頼領域を広げる
2. 改善が見られない場合（一定回数失敗） → 信頼領域を縮小する
3. 領域が小さくなりすぎた場合 → 新たな信頼領域を設定して再探索（リスタート）
このように、信頼領域を適切に調整しながら最適化を進めることで、効率よく最適解に収束できるようになります。
3. 信頼領域の利点
(1) 高次元空間の探索効率を向上
高次元では探索空間が指数関数的に増えるため、全体をランダムに探索するのは非効率です。信頼領域を設けることで、探索を局所的に制限し、より有望な領域にサンプルを集中させることができます。
(2) サンプル効率の向上
評価コストが高い関数に対して、少ないサンプル数で最適解を見つけることが重要です。信頼領域を利用することで、限られたサンプル数でも効率的に最適化が進むようになります。
(3) グローバル最適解の探索も可能
信頼領域が固定されていると局所最適に陥るリスクがありますが、本研究では**「Regional Expected Improvement（REI）」** という新しい獲得関数を用いて、信頼領域の選択を最適化し、局所解に陥るリスクを低減しています。