数学をことばにしよう：三項間漸化式

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

a_n+2-αa_n+1+γ=β(a_n+1-αa_n+γ)
a_n+2-(α+β)a_n+1+αβa_n=γ(β-1)
題意より、三項間漸化式の特性方程式から、α=β=2, 解と係数の関係からγ=1
a_n+2-2a_n+1+1=2(a_n+1-2a_n+1)=2・2^n-1=2^n
つまり、a_n+1=2a_n+2^n-1
=a_n+1/2^n+1=a_n/2^n+1/2-1/2^n+1
a_n/2^n=b_nと置くと、b_n+1-b_n=1/2-1/2^n+1の階差数列
b_n=b_1+Σ(k=1, n-1)(1/2-1/2^k+1)=1/2+1/2(n-1)-1/2+1/2^n
a_n/2^n=1/2n-1/2+1/2^n, a_n=2^n(1/2n-1/2+1/2^n)が解答

三項間漸化式、特性方程式、重解の場合の工夫、階差数列、等比数列の和など、基本的ながらたまにやらないと忘れそうな要素が満載でした。

勉強になりました！

（了）