位相と論理と私5：ブール代数（pp.7-10）
ブール代数はG. Booleによって思考過程の記号化として導入された．
かっこいい言い回しで始まる．$${PX}$$（ベキ集合族）が典型的なブール代数であるとのこと．抽象的過ぎて混乱した時はベキ集合族で考えるとよさそう．
補元
定義1.17 束において，$${a\land x=0, a\lor x=1}$$となる$${x}$$を$${a}$$の補元という．
束には最小元0と最大元1の存在が保証されていました．補元はベキ集合で言えば「補集合」というやつですね．台集合$${X}$$に対して部分集合$${A\sub X}$$の補集合$${A^c=X- A}$$です．
補題1.18 分配束では補元は存在すれば一意的である．
証明 $${x,y}$$ともに$${a}$$の補元とすれば$${x=y}$$であることを示せばよいです．$${x=x\lor 0=x\land 1}$$のように$${x}$$に0や1を生やすことができ，$${0=a\land y, 1=a\lor y}$$のどちらかを使って，さらに分配束も使うと示せます．終
分配束では補元の一意性が保証されたので，$${a}$$の補元が存在するなら$${\lnot a}$$と書いて表すこととします．
ド・モルガンの法則
$$
\lnot(a\land b)=\lnot a\lor\lnot b\\
\lnot(a\lor b)=\lnot a\land\lnot b
$$
証明は$${\lor, \land}$$が結合律や分配律を満たすことや，補元の性質を使ってやれば簡単にできます．
定義1.19 すべての元が補元をもつ分配束をブール代数という．
はい，ブール代数が定義できました！ ブール代数は順序集合の特殊なやつなんですね．
ブール代数の例として，さっきも書きましたがベキ集合族があります．
また，位相空間において開かつ閉である部分集合全体もブール代数になるとのこと．確かに一般には開集合の補元（補集合）は閉集合なので，開集合だけを集めた部分集合族ではブール代数にならないですが，開かつ閉なら補元をとることで閉じているのでブール代数になりますね．すごい．
ブール代数では以下が成り立ちます．
$$
a\land \lnot b=0\iff a\le b\quad(1)\\
a\lor \lnot b=1\iff b\le a\quad(2)\\
a\neq b\iff(a\land \lnot b)\lor(b\land \lnot a)\neq 0\quad(3)
$$
(1)の証明：
（⇒）
$${a\land b=(a\land b)\lor 0=(a\land b)\lor (a\land\lnot b)=a\land(b\lor \lnot b)=a\land 1=a}$$．
よって$${a\land b=a}$$が示せた．これは$${a\le b}$$を表す．
（⇐）
$${a\land\lnot b=(a\land b)\land\lnot b=a\land(b\land\lnot b)=a\land 0=0}$$．
終
(2)も同様．(3)は簡単．
アトム
また新しい概念が登場します．
定義1.24 ブール代数$${B}$$の元$${a\neq 0}$$が$${0\le b \le a\Longrightarrow b=0またはb=a}$$という性質をもつならば，$${a}$$はアトムであるという．
アトムというのは最小元0の直後の元たちということですね．ブール代数は順序集合であり，順序集合では任意の2元が比較可能とは限らないので，アトム（0の直後の元）は複数あってもよいですね．
アトムの例としては，ベキ集合族の一点集合たちが挙げられます．
また，自然数$${\N}$$に$${a\le b \iff a\mid b}$$で順序を入れたら素数がアトムになるかなと思いましたが，これは以下の理由でブール代数にはなっていないのでちょっとダメでした．
$${\N}$$はこの順序でjoinを最小公倍数，meetを最大公約数と思えば束になっています．1が最小元．そして0はどんな数によっても割れると思うことにすれば0が最大元！ 分配束でもある．しかしどの数にも補元が存在しない．なぜなら2数の最小公倍数はかならず有限であり最大元0にならないから．よってブール代数ではない．しかし素数たちは最小元の直後の元にはなっていますね．
アトムの性質について．
命題1.25 $${a\neq 0}$$がアトムであることの必要十分条件は，すべての$${b,c\in B}$$に対して$${a\le b\lor c\Longrightarrow a\le b またはa\le c}$$が成立すること．
必要条件の方について，逆側の矢印（⇐）は自明です．アトムなら「$${\lor}$$」という記号は「または」にしてよいのですね．joinの記号は「または」の意味で理解してよいということ．
証明．十分性について．
・$${0\le b\le a}$$とする．$${b=0またはa}$$を示したい．
・$${a=a\land 1=a\land (b\lor \lnot b)=(a\land b)\lor(a\land \lnot b)}$$．
・これは$${a\le(a\land b)\lor(a\land \lnot b)}$$の意味も含んでいる．
・仮定より$${a\le a\land b}$$または$${a\le a\land\lnot b}$$．
・$${a\le a\land b\iff a\land a\land b=a\iff a\land b=a\iff a\le b}$$．反対称律より$${b=a}$$.
・同様に$${a\le a\land\lnot b\iff a\le \lnot b}$$．$${b\le a\le \lnot b}$$なので$${b\le\lnot b\iff b=b\land\lnot b=0}$$．すなわち$${b=0}$$・・・(4)
必要性は次の補題を使うようです．
補題1.26 ブール代数$${B}$$において，$${a}$$がアトムならば，任意の部分集合に対して，$${a\le\lor S\Longrightarrow \exists s\in S(a\le s)}$$．
証明 背理法でやります．$${\forall s\in S(a\nleq s)}$$と仮定すると，
・$${a\nleq s\Longrightarrow a\land\lnot s\neq 0}$$（上の(1)式より）．
・$${\Longrightarrow a\land\lnot s=a}$$（$${a}$$がアトムかつ$${a\land\lnot s\le a}$$より）．
・$${\Longrightarrow a\le \lnot s}$$（順序とmeetの関係より）．
・$${\Longrightarrow \lnot a\ge s}$$（上の(1)(2)から示せる）．
・$${s}$$は$${S}$$の任意の元だったので$${\lnot a\ge \lor S}$$．
・仮定より$${a\le\lor S\le\lnot a}$$．
・このとき$${a=0}$$となることは上の(4)ですでに示した．
・$${a}$$がアトム（$${\neq0}$$）という条件と矛盾．
終
ブール代数で任意の非零元に，それ以下のアトムが存在するとき，$${B}$$はアトミックといいます．ベキ集合族はアトミックです．
ブール代数が完備かつアトミックならば，あるベキ集合族に同型であるという事実があるようです．証明は省略します．
まとめ
ブール代数が特別な順序集合として定義されました．また，アトムという概念があることを述べました．
次回は「ブール環」についてです．え？ ブール代数とブール環って異なる概念なのですか？
（つづく）