楕円について
本記事はアドベントカレンダーの18日目です。
複素平面における楕円
$${z=re^{i\theta}}$$で$${r}$$が一定、$${0\le\theta\le2\pi}$$のとき、すなわち複素平面$${\mathbb{C}}$$上の原点を中心とする半径$${r}$$の円周を動く$${z}$$に対して、$${w=z+\dfrac{1}{z}}$$は楕円を描きます。なぜなら、$${w=x+iy}$$とすると、
$$
\begin{align*}
w&=z+\frac{1}{z}\\
&=re^{i\theta}+\frac{1}{re^{i\theta}}\\
&=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\theta+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\theta
\end{align*}
$$
と変形できるからです。または、
$$
\begin{align*}
\left(\frac{x}{r+\frac{1}{r}}\right)^2+\left(\frac{y}{r-\frac{1}{r}}\right)^2
&=\cos^2\theta+\sin^2\theta=1
\end{align*}
$$
と書いてもいいです。
一方、$${\theta}$$が一定とすると、$${w}$$は双曲線を描くことも分かります。本記事では双曲線については省略し、楕円についてのみ考察を続けます。
私が考えたいのは、$${w=z+\dfrac{1}{z}}$$という表記で楕円の問題に適用して面白いことができないだろうか、ということです。もしかして、ケプラーの運動の方程式を楽に解けたり、またはベンゼンのπ電子を楕円座標で記述することでご利益があったり、などと夢想したわけです（もしかすると、楕円と双曲線を組み合わせて直交座標系を見ると面白いのか？）。
いきなり結論から言うと……なんの成果も！！得られませんでした！！
ちょっと見切り発車でした。でも少しだけ、この楕円の性質を見ておきます。
長軸と短軸
さっきの式変形で、長軸の長さは
$$
2\left(r+\frac{1}{r}\right)\ge4
$$
等号成立は$${r=1}$$のときです。実は以前のnoteでこのような変数変換をしたのでした。$${r=1}$$のときは楕円はつぶれて線分になっています。
長軸の長さを別の方法でも確かめたいと思います。
$$
\begin{align*}
&\left|z+\frac{1}{z}\right|^2\\
=&\left(z+\frac{1}{z}\right)\left(\overline{z}+\frac{1}{\overline{z}}\right)\\
=&|z|^2+\frac{z}{\overline{z}}+\frac{\overline{z}}{z}+\frac{1}{|z|^2}\\
=&r^2+2\mathrm{Re}\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)+\frac{1}{r^2}
\end{align*}
$$
この式で、$${\dfrac{z}{\overline{z}}}$$は単位円周上を動くことから、長軸の長さは、
$$
2\sqrt{r^2+2+\frac{1}{r^2}}\\
=2\left(r+\frac{1}{r}\right)
$$
です。短軸の長さは、
$$
2\sqrt{r^2-2+\frac{1}{r^2}}\\
=2\left|r-\frac{1}{r}\right|
$$
です。
焦点
さっきの計算から、$${w}$$が実軸に関しても、虚軸に関しても対称であり、焦点は実軸上にあることは分かりました。よって、焦点を$${\pm c}$$（$${c\in\mathbb{R}}$$）とすると、
$$
\begin{align*}
&|w-c|+|w+c|\\
=&\left|z+\frac{1}{z}-c\right|+\left|z+\frac{1}{z}+c\right|\\
=&\left|\frac{z^2-cz+1}{z}\right|+\left|\frac{z^2+cz+1}{z}\right|\\
\end{align*}
$$
ここで、$${c=2}$$としたい気分になります（？）
すると、
$$
\begin{align*}
&\left|\frac{z^2-2z+1}{z}\right|+\left|\frac{z^2+2z+1}{z}\right|\\
=&\frac{1}{|z|}\{|(z-1)^2|+|(z+1)^2|\}\\
=&\frac{1}{r}\{|(z-1)(\overline{z}-1)|+|(z+1)(\overline{z}+1)|\}\\
=&\frac{1}{r}\{|z|^2-z-\overline{z}+1+|z|^2+z+\overline{z}+1\}\\
=&\frac{1}{r}(2r^2+2)\\
=&2\left(r+\frac{1}{r}\right)
\end{align*}
$$
となり、$${|w-2|+|w+2|}$$が一定ですから、焦点は$${\pm2}$$であると分かりました（途中が天下りですね……）。
接線
最後に接線を求めておきます。
$${|\alpha|=r}$$とし、楕円上の点$${\alpha+\dfrac{1}{\alpha}}$$における接線を求めるのです。そのために、次を計算すればよいです。
$$
\alpha+\dfrac{1}{\alpha}+k\frac{\partial w}{\partial \theta}_{z=\alpha}
\quad(k\in\mathbb{R})
$$
まず、
$$
\begin{align*}
&\frac{\partial w}{\partial \theta}_{z=\alpha}\\
=&\frac{\partial }{\partial \theta}\left(z+\frac{1}{z}\right)_{z=\alpha}\\
=&\left(iz-i\frac{1}{z}\right)_{z=\alpha}\\
=&i\left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)
\end{align*}
$$
です。よって、$${\alpha=re^{i\phi}}$$として変形すると、
$$
\begin{align*}
&\alpha+\dfrac{1}{\alpha}+k\frac{\partial w}{\partial \theta}_{z=\alpha}\\
=&\alpha+\dfrac{1}{\alpha}+ki\left(\alpha-\frac{1}{\alpha}\right)\\
=&re^{i\phi}+\frac{1}{r}e^{-i\phi}+ki\left(re^{i\phi}-\frac{1}{r}e^{-i\phi}\right)\\
=&\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos\phi+i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin\phi\\
&+ki\left\{\left(r-\frac{1}{r}\right)\cos\phi+i\left(r+\frac{1}{r}\right)\sin\phi\right\}\\
=&\left(r+\frac{1}{r}\right)(\cos\phi-k\sin\phi)\\
&+i\left(r-\frac{1}{r}\right)(\sin\phi+k\cos\phi)\\
\end{align*}
$$
となり、
$$
x=\left(r+\frac{1}{r}\right)(\cos\phi-k\sin\phi),\\
y=\left(r-\frac{1}{r}\right)(\sin\phi+k\cos\phi)
$$
として、それぞれパラメータ$${k}$$について解くと、
$$
\begin{align*}
k&=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}-\frac{x}{\sin\phi\left(r+\frac{1}{r}\right)}\\
&=\frac{y}{\cos\phi\left(r-\frac{1}{r}\right)}-\frac{\sin\phi}{\cos\phi}
\end{align*}
$$
が得られます。ゆえに、
$$
\begin{align*}
\frac{x}{\sin\phi\left(r+\frac{1}{r}\right)}+\frac{y}{\cos\phi\left(r-\frac{1}{r}\right)}
&=\frac{\cos\phi}{\sin\phi}+\frac{\sin\phi}{\cos\phi}
=\frac{1}{\sin\phi\cos\phi}\\
\frac{x\cos\phi}{r+\frac{1}{r}}+\frac{y\sin\phi}{r-\frac{1}{r}}
&=1\\
\frac{x\cos\phi\left(r+\frac{1}{r}\right)}{\left(r+\frac{1}{r}\right)^2}+\frac{y\sin\phi\left(r-\frac{1}{r}\right)}{\left(r-\frac{1}{r}\right)^2}
&=1\\
\frac{x\mathfrak{Re}(\alpha)}{\left(r+\frac{1}{r}\right)^2}+\frac{y\mathfrak{Im}(\alpha)}{\left(r-\frac{1}{r}\right)^2}
&=1
\end{align*}
$$
となります。最後の式は、高校で習った楕円に接する接線の方程式です。
おわりに
以上が私が計算できた範囲です。準線は面倒そうなので諦めました。こんなことをして何かの役に立つのか？と疑問しか残らなかったのですが、いつか何かにつながることを信じて、この楕円のことを覚えておこうと思います。
もし、何かご存知でしたら、教えてください。（おしまい）
※後で知りましたが、これはZhukovski（ジューコフスキー）の関数といい、流体力学で利用されるそうです。