√nと√n+1に関する証明

　nを自然数とした時、$${\sqrt{n}}$$ と $${\sqrt{n+1}}$$ がともに有理数とならないことの簡潔な証明を考えました。誤りがある場合は指摘していただければありがたいです。

前提: $${n}$$ を自然数としたとき $${\sqrt{n}}$$ が有理数ならば $${\sqrt{n}}$$ は整数である
指針:背理法
$${\sqrt{n}}$$ と $${\sqrt{n+1}}$$ がともに有理数であると仮定する。
この時、$${\sqrt{n}}$$ と $${\sqrt{n+1}}$$ はともに整数である。
$${n}$$ は自然数であるから　$${0 < \sqrt{n} < \sqrt{n+1}}$$
$${\sqrt{n}}$$ と $${\sqrt{n+1}}$$ は正であるから、$${\sqrt{n}\sqrt{n} < \sqrt{n}\sqrt{n+1} < \sqrt{n+1}\sqrt{n+1}}$$
よって $${n < \sqrt{n}\sqrt{n+1} < n+1}$$
上記の式を満たす $${n}$$は存在しない。∴Q.E.D.