【今こそ素数さんを知る！❽】

阪大でちょっとした有名人の素数さん。

でも素数さんとはいったい何者なのか？
世界で一番詳しい素数さん記事をお届けします。

第１回はこちら

【今こそ素数さんを知る】第⑧回

素数から円周率が現れる！？

　今回は、ゼータ関数のさらなる魅力についてお話します。

　おさらいすると、ゼータ関数は

もしくは

の形であらわすことができ、sに素数を代入すればいいだけでしたよね。

　さて、ζ(1)は無限になりましたよね。

　では、ζ(2)はどんな値になるのでしょうか。

これはｓが２なので、

の式になります。 　

　値としては、だいたい1.6くらいなのは簡単にわかります（理系のみんなは計算してみてね！）。

　でもだいたいの大きさじゃなくて、具体的な値を知りたい！

　これはバーゼル問題と言って、スイスのバーゼルという地で数学者ベルヌーイが出した問題です。

　100年間未解決でしたが、オイラーが解決したんですよ。

　オイラーは、

ζ(2) は円周率πの二乗を６で割った値（＝π^2 / 6）

であることを証明しました。 　

　これは数学史上最も美しい公式の1つですが、何が面白いかというと、元の式としては整数の自乗の逆数を足しただけですよね。

　つまり、整数にしか関係がありません。

　でもそれを足し合わせていったら、整数とは全く関係のない円周率が出てきたんです！　 　

　これってどういうこと？　

　不思議ですよね。 　

　こういう不思議があるからね、数学はやめられないの。

　バーゼル問題もちゃんと厳密に証明されています。

　でもね、証明を理解しても、なんで円周率が出てきたのか分からないんですよ。

　ところで、ゼータ関数は素数からできているので、この　ζ（２） も素数からできているわけですよね。 　

　つまり、円周率は素数からできている！？ 　

　整数とは関係のない円周率まで素数が作っていることを、誰が予想できただろうか！ 　

　もう、ホントにね、「素数はなんてすごいんだ！」って感じちゃいますよね。

　ちなみに、このζ(2)からも素数が無限にあることがわかります。掛け算バージョンの式で掛け合わせている１つ１つの要素は、例えば1/(1-1/4)のようになっていて、分数なんです。

　分数は有理数ですよね。

　素数がこの世に有限個しかないと仮定してみましょう。

　分数を有限個掛けたものも、分数です。

　つまり、もし素数が有限個しかなかったら、ζ(2)も有理数になります。

　ところが、 円周率が無理数であることは別途証明されているので、有理数＝無理数になってしまって、 矛盾しますよね。 　

　実はこんな感じで、ζ(2)の値を見ても素数の無限性が証明できるんです。