群の表現論（備忘録）
Schurの補題の証明です。単なる備忘録で、瑕疵の有無には無頓着です。
$${(V，\!\!\!\rho)}$$を，体$${K}$$上のベクトル空間$${V}$$における，群$${G}$$の表現とする．
このとき，$${(V，\!\!\!\rho)}$$が絶対既約ならば，$${\mathrm{End}_G(V)\simeq K}$$である：
$${(V，\!\!\!\rho)}$$を絶対既約表現，$${\widetilde{K}}$$を$${K}$$を含む任意の代数閉体とする．
また，$${\varphi\colon V\to V_{\widetilde{K}}}$$を$${\widetilde{K}}$$への係数拡大とし，$${x\in V}$$，$${f\in V^{*}}$$として，
$$
{\Phi\colon\mathrm{End}(V)\longrightarrow\mathrm{End}\left(V_{\widetilde{K}}\right)}\quad(\left(\phi_{x，\!\!\!\!\;f}\colon y\mapsto\langle f，\!\!\!\!\!\,\,y\rangle x\right)\longmapsto\phi_{\varphi(x)，\!\!\varphi^{*}(f)})
$$
を考える．
このとき，同型
$$
\mathrm{End}(V)\simeq V\otimes_K{V^{*}}
\quad(\phi_{x，\!\!\!\!\;f}\longleftrightarrow x\otimes f)
$$
等により，$${\Phi}$$が$${\mathrm{End}(V)}$$の基底を$${\mathrm{End}\left(V_{\widetilde{K}}\right)}$$の基底に写像することが示される．
よって，$${\Phi}$$は$${\mathrm{End}(V)}$$の$${\widetilde{K}}$$への係数拡大で，$${\mathrm{End}\left(V_{\widetilde{K}}\right)=\left(\mathrm{End}(V)\right)_{\widetilde{K}}}$$である．
$${(x，\!\!\!\!\;f)\in V\times V^{*}}$$として，$${\rho}$$の$${{\widetilde{K}}}$$への拡張$${\rho_{\widetilde{K}}}$$が
$$
\forall g\in G\quad\rho_{\widetilde{K}}(g)=(\varphi(x)\mapsto\varphi(\rho(g)(x)))
$$
により与えられることに注意すると，
$$
\begin{array}{cl}
&\phi_{\varphi(x)，\!\!\varphi^{*}(f)}\in\mathrm{End}_G\left(V_{\widetilde{K}}\right)\\[5pt]
\Leftrightarrow&\forall g\in G\;\forall y\in V\;
\left(\phi_{\varphi(x)，\!\!\varphi^{*}(f)}\circ\rho_{\widetilde{K}}(g)\right)\!(\varphi(y))=\left(\rho_{\widetilde{K}}(g)\circ\phi_{\varphi(x)，\!\!\varphi^{*}(f)}\right)\!(\varphi(y))\\[4pt]
\Leftrightarrow&\forall g\in G\;\forall y\in V\;
\left\langle\varphi^{*}(f)，\!\!\!\rho_{\widetilde{K}}(g)(\varphi(y))\right\rangle
\!\varphi(x)=\rho_{\widetilde{K}}(g)\!\left(\langle\varphi^{*}(f)，\!\!\!\varphi(y)\rangle\varphi(x)\right)\\[4pt]
\Leftrightarrow&\forall g\in G\;\forall y\in V\;
\left\langle f，\!\!\!\rho(g)(y)\right\rangle
\!\varphi(x)=\langle f，\!\!\!y\rangle\varphi(\rho(g)(x))\\[5pt]
\Leftrightarrow&\forall g\in G\;\forall y\in V\;
\left\langle f，\!\!\!\rho(g)(y)\right\rangle
\!x=\langle f，\!\!\!y\rangle\rho(g)(x)\quad（\because\varphi は全単射）\\[4pt]
\Leftrightarrow&\phi_{x，\!\!f}\in\mathrm{End}_G(V)
\end{array}
$$
であるから，
$$
\Phi|_{\mathrm{End}_G(V)}\colon\mathrm{End}_G(V)\rightarrow\mathrm{End}_G\left(V_{\widetilde{K}}\right)
$$
は同型であり，$${\mathrm{End}_G(V)}$$の$${\widetilde{K}}$$への係数拡大を与える．
ゆえに，$${\mathrm{End}_G\left(V_{\widetilde{K}}\right)=\left(\mathrm{End}_G(V)\right)_{\widetilde{K}}}$$であるから，$${(V，\!\!\!\rho)}$$の絶対既約性より，有限次元ベクトル空間$${\left(\mathrm{End}_G(V)\right)_{\widetilde{K}}}$$は多元体をなす．
一方，$${\widetilde{K}}$$はそれ自身の上の有限次元多元体だが，逆に$${\widetilde{K}}$$上の有限次元多元体は$${\widetilde{K}}$$と同型なものに限られる：
$${D}$$を，$${1_D}$$を単位元とする$${\widetilde{K}}$$上の有限次元多元体とし，$${a\in D^{\times}}$$を任意にとる．
$${\dim_{\widetilde{K}}D<\infty}$$であるから，このとき，
$$
\exists f\!\!\;\in\widetilde{K}[x]\quad\!\mathrm{monic}\quad\mathrm{s.t.}\quad
\begin{cases}
f(0)\neq0\quad（左辺をf(0)\cdot1_Dと見做す）\\
f(a)=0
\end{cases}
$$
である．
$${n:=\deg f}$$とすると，$${\widetilde{K}}$$が代数閉体であることより，
$$
\exists\,\alpha_1，\cdots，\alpha_n\!\!\;\in\widetilde{K}\quad\mathrm{s.t.}\quad f(x)=\displaystyle\prod^{n}_{i=1}(x-\alpha_i)
$$
であるが，$${f(0)}$$と$${f(0)\cdot1_D}$$を同一視していることから，
$$
f(x)=\displaystyle\prod^{n}_{i=1}(x-\alpha_i\cdot1_D)\in D[x]
$$
と考えられる．
$${f(a)=0}$$ゆえ，
$$
\displaystyle\prod^{n}_{i=1}(a-\alpha_i\cdot1_D)=0
$$
であるから，$${D}$$が整域であることと合わせて，
$$
\exists\,i\quad\mathrm{s.t.}\quad a=\alpha_i\cdot1_D
$$
を得る．
よって，$${D=\widetilde{K}\cdot1_D}$$である．
ゆえに，
$$
\dim_K\mathrm{End}_G(V)=\dim_{\widetilde{K}}\left(\mathrm{End}_G(V)\right)_{\widetilde{K}}=\dim_{\widetilde{K}}\left({\widetilde{K}\cdot\mathrm{id}_{V_{\widetilde{K}}}}\right)=1
$$
であるから，$${\mathrm{End}_G(V)\simeq K}$$が成り立つ．