群の表現論4（備忘録）

　$${G}$$を有限群，$${K}$$を体とする．

　以下，$${G}$$の任意の表現が完全可約であることに注意する（『線形代数学』佐武一郎，裳華房のP244に証明がある）．

　$${G}$$を基底とする$${K}$$係数自由アーベル群は，自然な積に関し$${K}$$上の多元環になる．これを$${G}$$の$${K}$$上の群環といい，$${K[G]}$$と書く（以下，これを$${R}$$と表記する）：

$$
\begin{array}{}
K[G]:=\displaystyle{\bigoplus_{g\in G}Kg}．
\end{array}
$$

　$${G}$$の$${R}$$への自然な左作用を考え，各$${g\in G}$$に対し，

$$
\begin{array}{}
\lambda(g)\colon R\longrightarrow R\quad
(x\longmapsto gx)
\end{array}
$$

とすると，$${(R，\!\!\!\lambda)}$$は$${G}$$の$${K}$$における完全可約表現である（これを（左）正規表現という）．

　$${R}$$における積の定義から，$${R}$$の不変部分空間は$${R}$$の左イデアルに他ならないから，

$$
\begin{array}{}
\forall W\subset R\;\;左イデアル\;\;\exists W'\subset R\;\;左イデアル\;\;\mathrm{s.t.}\;\;R=W\oplus W'\quad(*)
\end{array}
$$

である．

　$${R}$$の左イデアル$${W}$$に対し，上記直和分解$${(*)}$$を考えると，$${G}$$の単位元$${1_G}$$について，

$$
\begin{array}{}
\exists !e\in W\quad\mathrm{s.t.}\quad 1_G-e\in W'
\end{array}
$$

であり，$${(*)}$$に対応する$${W}$$への射影子$${x\mapsto xe}$$が得られる．

　特に，

$$
\begin{array}{}
\forall x\in R\quad x\in W\Leftrightarrow x=xe
\end{array}
$$

ゆえ，$${W}$$は$${e}$$を生成元とする$${R}$$の左単項イデアルであり，$${x=e(\in W)}$$の場合を考えると，$${e}$$が$${R}$$の冪等元であることが分かる（$${1_G-e}$$も$${R}$$の冪等元で，$${e}$$と直交する（即ち，$${e(1_G-e)=(1_G-e)e=0}$$が成り立つ））．

　また，

$$
\begin{array}{lll}
\forall W_1，\!\!\!W_2\subset R\quad 左イデアル\,
&&W=W_1\oplus W_2\\[2pt]
&\Rightarrow\!\!\!\!\!&\exists !(e_1，\!\!\!e_2)\in W_1\times W_2\;\;\mathrm{s.t.}\;\;e=e_1+e_2
\end{array}
$$

における$${e_1}$$，$${e_2}$$が，直和分解

$$
\begin{array}{}
R=W\oplus W'=W_1\oplus W_2\oplus W'
\end{array}
$$

に対応する単位元の分解

$$
\begin{array}{}
1_G=e_1+e_2+(1_G-e)
\end{array}
$$

を与えること，即ち直交冪等元であることに注意すると，

$$
\begin{array}{lll}
&\!\!\!\lambda_Wが既約\\[2pt]
\Leftrightarrow&\!\!\!W=Re\subset R\;\;単純\\[2pt]
\Leftrightarrow&\!\!\!(\,\forall e_1，\!\!\!e_2\in R\;\;冪等\;\;
W=Re_1\oplus Re_2，\!\!e_1\neq0\Rightarrow e_2=0)\\[2pt]
\Leftrightarrow&\!\!\!(\,\forall e_1，\!\!\!e_2\in W\;\; 冪等\;\;
e=e_1+e_2，\!\!e_1e_2=e_2e_1=0，\!\!e_1\neq0\Rightarrow e=e_1)
\end{array}
$$

である．

　条件

$$
\begin{array}{}
\forall e_1，\!\!\!e_2\in W\quad 冪等\quad 
e=e_1+e_2，\!\!e_1e_2=e_2e_1=0，\!\!e_1\neq0\Rightarrow e=e_1
\end{array}
$$

を満たす冪等元$${e(\neq0)}$$を，$${R}$$の原始冪等元という．即ち，

$$
\begin{array}{}
\lambda_Wが既約
\Leftrightarrow Wは原始冪等元により生成される
\end{array}
$$

である．

　以下，$${G}$$の任意の表現$${(V，\!\!\!\rho)}$$と，正規表現$${(R，\!\!\!\lambda)}$$の関係を調べる：

　はじめに，$${(R，\!\!\!\lambda)}$$を考察する．

　$${e，\!\!\!e'\in R}$$を任意の冪等元とする．

　$${\varphi\in\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!Re')}$$とすると，

$$
\begin{array}{}
\forall g\in G\quad\varphi(ge)=g\varphi(e)
\end{array}
$$

ゆえ，

$$
\begin{array}{}
\forall x\in Re\quad\varphi(x)=\varphi(xe)=x\varphi(e)
\end{array}
$$

である．

　一方，$${eR\cap Re'=(eRe'\oplus eR(1_G-e'))\cap Re'=eRe'}$$に注意すると，$${e'}$$と$${1_G-e'}$$の直交性より，

$$
\begin{array}{}
\varphi(e)=\varphi(e\cdot e)=e\varphi(e)\in eRe'
\end{array}
$$

が成り立つ．

　よって，写像

$$
\begin{array}{}
\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!Re')\longrightarrow eRe'\quad
(\,\varphi\longmapsto\varphi(e))
\end{array}
$$

を定義できるが，これは

$$
\begin{array}{}
eRe'\longrightarrow\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!Re')\quad
(\,a\longmapsto(x\longmapsto xa))
\end{array}
$$

を逆写像にもち，同型$${\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!Re')\simeq eRe'}$$を与える．

　特に，$${e}$$を原始冪等元とし，$${e'=1_G}$$とすれば，

$$
\begin{array}{}
\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!R)\longrightarrow eR\quad
(\,\varphi\longmapsto\varphi(e))
\end{array}
$$

も同型である．

　左イデアル$${Re\subset R}$$の単純性より，$${\varphi\in\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!R)}$$が0写像か単射の何れかであることに注意して，

$$
\begin{array}{}
\forall \varphi\in\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!R)\quad
\varphi(e)\neq0
\Rightarrow Re\simeq\varphi(Re)=Re\cdot\varphi(e)
\end{array}
$$

を得るから，

$$
\begin{array}{}
\forall a\in eR\setminus\{0\}\quad
\begin{cases}
Re\cdot a\subset R\quad 既約\\
\lambda_{Re}\sim\lambda_{Re\cdot a}
\end{cases}
\end{array}
$$

である．

　$${\lambda_{Re}}$$と同値な表現で，$${\lambda}$$の制限として得られるものは，$${\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!R)}$$の元により$${G-}$$同型が与えられるから，これら$${\lambda_{Re\cdot a}}$$で尽きている．

　従って，$${Re}$$を含む$${(R，\!\!\!\lambda)}$$の準既約成分は，

$$
\begin{array}{}
\displaystyle{\bigcup_{a\in eR}Re\cdot a=ReR}
\end{array}
$$

で，$${R}$$の両側イデアルである．

　この準既約成分は多元環をなすが，単純である：

　$${\{0\}}$$でない，$${R}$$の両側イデアル$${W}$$が，

$$
\begin{array}{}
W\subset ReR\Rightarrow e\in W
\end{array}
$$

を満たすことを示せばよい．

　$${\{0\}}$$でない，$${R}$$の両側イデアル$${W}$$が$${W\subset ReR}$$を満たすとする．

　このとき，$${R}$$の左イデアル$${Re\cap W}$$の生成元を$${e'}$$とすると，$${W}$$が$${R}$$の右イデアルであることから，

$$
\begin{array}{}
Re'R=(Re\cap W)R=ReR\cap W=W\neq\{0\}
\end{array}
$$

である．

　よって，$${e'\neq0}$$であり，$${\{0\}\neq Re'\subset Re}$$が成り立つ．

　$${Re}$$の既約性より，

$$
\begin{array}{}
Re\cap W=Re'=Re\quad\mathrm{i.e.}\quad e\in Re\subset W
\end{array}
$$

を得る．

　以上の議論は，$${G}$$の任意の表現$${(V，\!\!\!\rho)}$$に一般化される：

　$${\rho\in\mathrm{Hom}(G，\!\!\!\mathrm{GL}(V))}$$の，$${\mathrm{Hom}(R，\!\!\!\mathrm{End}(V))}$$の元への自然な拡張

$$
\begin{array}{}
R\longrightarrow\mathrm{End}(V)\quad
\left(\displaystyle{\sum_{g\in G}\alpha_gg}\longmapsto\displaystyle{\sum_{g\in G}\alpha_g\rho(g)}\right)
\end{array}
$$

を考え，これも$${\rho}$$と書く．

　$${R}$$の冪等元$${e}$$に対し，同型

$$
\begin{array}{}
\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!V)\simeq\rho(e)(V)
\end{array}
$$

が成り立つ：

　$${\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!Re')\simeq eRe'}$$の証明と同様に，

$$
\begin{array}{}
\Phi\colon\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!V)\longrightarrow\rho(e)(V)\quad
(\,\varphi\longmapsto\rho(e)(\varphi(e)))
\end{array}
$$

及び

$$
\begin{array}{}
\Psi\colon\rho(e)(V)\longrightarrow\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!V)\quad
(\,\rho(e)(v)\longmapsto(x\mapsto\rho(x)(v)))
\end{array}
$$

を考えると，任意の$${\varphi\in\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!V)}$$，$${x=\displaystyle{\sum_{g\in G}\alpha_gg}\in Re}$$，$${v\in V}$$に対し，

$$
\begin{array}{rlll}
\Psi(\Phi(\varphi))(x)\!\!\!\!
&=\Psi(\rho(e)(\varphi(e)))(x)
=\rho(x)(\varphi(e))\\[2pt]
&=\displaystyle{\sum_{g\in G}\alpha_g\rho(g)}(\varphi(e))\\[12pt]
&=\displaystyle{\sum_{g\in G}\alpha_g}\varphi(\lambda(g)(e))\\[5pt]
&=\varphi\left(\displaystyle{\sum_{g\in G}\alpha_gge}\right)\\[14pt]
&=\varphi(xe)=\varphi(x)\\[3pt]
\Phi(\Psi(\rho(e)(v)))\!\!\!\!
&=\Phi(x\mapsto\rho(x)(v))
=\rho(e)(\rho(e)(v))\\[2pt]
&=\rho(e^2)(v)=\rho(e)(v)
\end{array}
$$

となり，$${\Phi}$$と$${\Psi}$$は互いに逆写像である．

　この場合も，$${e}$$が原始冪等元のとき，この同型を用いて，既約正規表現$${\lambda_{Re}}$$に対応する$${V}$$の準既約成分，即ち，$${\lambda_{Re}}$$に対応する$${V}$$の既約因子

$$
\begin{array}{}
W\subset V\,\,既約\,\,\mathrm{s.t.}\,\,\rho_W\sim\lambda_{Re}
\;(\Leftrightarrow\exists\varphi\in\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!V)\,\,\mathrm{s.t.}\,\,W=\varphi(Re))
\end{array}
$$

の和が得られる：

　$${v\in V}$$として，$${\varphi=(x\mapsto\rho(x)(v))\in\mathrm{Hom}_G(Re，\!\!\!V)}$$について，

$$
\begin{array}{lll}
\varphi(e)\neq0\!\!\!\!
&\Leftrightarrow Re\simeq\varphi(Re)\\[2pt]
&\Leftrightarrow Re\simeq(x\mapsto\rho(x)(v))(Re)=\rho(Re)(v)\\[2pt]
&\Leftrightarrow \lambda_{Re}\sim\rho_{\rho(Re)(v)}
\end{array}
$$

であるから，$${\lambda_{Re}}$$に対応する$${V}$$の既約因子は，これら$${\rho(Re)(v)}$$で尽くされる．

　よって，$${\lambda_{Re}}$$に対応する$${V}$$の準既約成分は，

$$
\begin{array}{}
\displaystyle{\bigcup_{v\in V}\rho(Re)(v)=\rho(Re)(V)}
\end{array}
$$

で与えられる．

　$${\rho(1_G)=\mathrm{id_V}}$$であるから，$${e}$$が$${R}$$の原始冪等元全体を動くものとして，$${V}$$の準既約分解

$$
\begin{array}{}
V=\rho(1_G)(V)=\rho(R)(V)=\displaystyle{\bigoplus_{e}\rho(Re)(V)}
\end{array}
$$

を得る．

　最後に，次回の記事（Young図形に関する議論）への準備として，原始冪等元について補足する．

$$
\begin{array}{}
R=\displaystyle{\bigoplus_{i\in I}W_i}
\end{array}
$$

を，単純左イデアルへの分解とする．

　このとき，$${1_G}$$の分解

$$
\begin{array}{}
\exists!(e_i)\in\displaystyle{\prod_iW_i}
\quad\mathrm{s.t.}\quad1_G=\displaystyle{\sum_ie_i}
\end{array}
$$

が得られる．

　$${\{e_i\}}$$は$${R}$$の直交原始冪等元の組をなし，

$$
\begin{array}{}
R=\displaystyle{\bigoplus_{i}Re_i}
\end{array}
$$

だが，同時に単純右イデアルへの分解

$$
\begin{array}{}
R=\displaystyle{\bigoplus_{i}e_iR}
\end{array}
$$

も生じる．

　これらの分解を用いて，$${R}$$が$${e_i\;(i\in I)}$$以外の原始冪等元をもたないことが示される：

　$${e}$$を$${R}$$の原始冪等元とすると，$${e}$$が生成する左イデアル，右イデアルはともに単純だから，

$$
\begin{array}{}
\exists!(i，\!\!\!j)\in I\times I\quad\mathrm{s.t.}\;
\begin{cases}
Re=Re_i\\
eR=e_jR
\end{cases}
\end{array}
$$

である．

　このとき，$${e\in Re_i\cap e_jR}$$であり，

$$
\begin{array}{}
e=\displaystyle{\sum_kee_k}=\displaystyle{\sum_ke_ke}
\end{array}
$$

と合わせて，

$$
\begin{array}{}
\begin{cases}
ee_k=\delta_{k，\!\!\!i}e\\
e_ke=\delta_{k，\!\!\!j}e
\end{cases}
\end{array}
$$

を得る．

　すると，$${ee_ke=\delta_{k，\!\!\!i}e=\delta_{k，\!\!\!j}e}$$であるから，$${i=j}$$である．

　この$${e_i}$$について，

$$
\begin{array}{}
\begin{cases}
e=e_i+(e-e_i)\\
e_i\neq0
\end{cases}
\end{array}
$$

だが，

$$
\begin{array}{}
e_i\in Re\quad\mathrm{i.e.}\quad
\exists x\in R\quad\mathrm{s.t.}\quad e_i=xe
\end{array}
$$

ゆえ，

$$
\begin{array}{}
e_i(e-e_i)=xe^2-e_i=xe-xe=0
\end{array}
$$

である．

　同様に，$${e_i\in eR}$$より，$${(e-e_i)e_i=0}$$である．

　ゆえに，$${e-e_i}$$も冪等で，$${e}$$の原始性より，$${e=e_i}$$である．