【流体力学】Navier-Stokes equation

Navier-Stokes eq.の導出方法

□ランダウ・リフシッツでの導出
連続の方程式
流体粒子の運動方程式
理想流体の運動方程式（オイラー方程式）
粘性流体の運動方程式（ナビエストークス方程式）

運動量流束に粘性流体の運動量の不可逆的な輸送を表す項を加えれば良い。
粘性ストレステンソルの一般的な形は、
速度勾配が小さいとして、速度の１次の空間微分の１次関数として表される。
次に流体の一様回転において、内部摩擦が生じないという条件から、
粘性ストレステンソルの一般的な形が決定される。

粘性係数はエネルギー散逸関数が単調減少であることから、
常に正の値をとることが示される。

正確には粘性係数は温度、圧力に依存するが、
ほとんどの場合、流体中で粘性係数は大きく変化しないので、
一定とみなされる。

□一般的な導出
流体の単位体積あたりの運動量の変化と力積の関係式
＋
構成方程式（歪み速度と粘性係数、粘性応力の実験式）

によって求められる。

ちなみに、非圧縮条件は、
DΡ/Dt = 0 が本来の形
→連続の式を使って、∇ v = 0と等価とわかる。

□スケール小〜大への繋がり（導出もできる？）
リウビル方程式（フォンノイマン方程式）：N体分布
↓（縮約）BBGKY hierarchy
ボルツマン方程式：１体分布
↓(確率分布の摂動展開、Chapman-Enskog Theory)
Euler eq.
Navier Stokes eq.　：流体スケール

単純な覚え方・導出：
応力がShear, 剪断流に線形比例（Newton流体）:
$${\bold{\sigma} = -p \bold{I} + \eta \nabla \bold{v}}$$
これを以下の運動方程式に代入:
$${ \frac{D\bold{v}}{Dt} = \partial_t \bold{v} + \bold{v} \cdot \nabla \bold{v} = \frac{1}{\rho} \nabla \cdot \bold{\sigma}}$$