Peano’s axiom, ペアノの公理

この世界に0、ゼロ、何もない、無の状態なんてあるのだろうか？
それはただの客観的、ないし、主観的な基準でしかないのではないか？

じゃあ、０から、次は、1,
その次は、2のように、
次があるだけの状況なら考えやすい。

increment、インクリメント演算子
もしくは、successor, 後続演算子として、
0++ = 1
もしくは
suc(0) = 1
を考えてみる。

1++=2
2++=3
のように後続の数字をそれぞれ定義する。

もちろん、定義次第で、天井を設ければ、
4++=4も可能である。

自然数

今回は、0を含めて定義する。
0を自然数としよう。
ゼロからincrement演算子++で辿り着ける全ての数を自然数と定義する。

足し算, addition

自然数 m について、
0 + m = m
自然数の組、n, mについて
(n++) + m = (n+m)++
と定義する。

1+1=2 の証明

1+1 = (0++) +1 = (0+1)++ = 1++ = 2

私たちの当たり前は、
本当に当然なのだろうか？