特殊相対論：用語，Terminology

ここでは，世界線，４元ベクトル，ミンコフスキー時空間とその内積，固有時，（固有）4元速度ベクトル，（固有）４元加速度ベクトル，４元力ベクトルについてその定義をまとめて復習しておく．

1. 世界線 (World Line)

世界線は、時空内での物体の軌跡を示す線です。物体の位置と時刻の関係を示し、4次元時空の中での曲線として表現されます。

もし時刻 ( t ) における位置が (\vec{x}(t) = (x^1(t), x^2(t), x^3(t))) で表されるならば、世界線は
[
(x^0(t), x^1(t), x^2(t), x^3(t)) = (ct, x^1(t), x^2(t), x^3(t))
]
と書かれます。ここで、( x^0 = ct ) は時間成分を表します（( c ) は光速）。

2. 4元ベクトル (Four-Vector)

4元ベクトルは、特殊相対性理論における4次元時空でのベクトルを表します。一般に、4元ベクトル ( A^\mu ) は以下のように書けます。
[
A^\mu = (A^0, A^1, A^2, A^3) = (A^0, \vec{A})
]
時間成分 ( A^0 ) と空間成分 ( \vec{A} ) から構成されます。

3. ミンコフスキー時空とその内積 (Minkowski spacetime and its inner Product)

ミンコフスキー時空は以下の性質を持つ空間です（計量テンソルで特徴づけられます，ユークリッド空間は計量が単位テンソル）：
その内積は、2つの4元ベクトル間の内積を計算するために使用されます。2つの4元ベクトル ( A^\mu ) と ( B^\mu ) のミンコフスキー内積は次のように定義されます。
[
A \cdot B = \eta_{\mu\nu} A^\mu B^\nu = A^0B^0 - A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3
]
ここで、(\eta_{\mu\nu}) はミンコフスキー時空の計量テンソルで、(\eta_{\mu\nu} = \text{diag}(1, -1, -1, -1)) です。

4. 固有時 (Proper Time)

固有時 (\tau) は、観測者が自分の時間として計測するものです。物体が世界線上を移動するとき、固有時は以下のように定義されます。
[
d\tau = \sqrt{dt^2 - \frac{1}{c^2}(dx^2 + dy^2 + dz^2)} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} , dt
]
ここで、( v ) は物体の速度で、( dt ) は基準系における時間の経過です。

5. 固有4元速度ベクトル (Proper Four-Velocity)

固有4元速度ベクトル ( U^\mu ) は、固有時に対する微分として定義されます。
[
U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma(c, \vec{v})
]
ここで、(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}) はローレンツ因子です。

6. 固有4元加速度ベクトル (Four-Acceleration)

固有4元加速度ベクトル ( A^\mu ) は、4元速度ベクトルの固有時に対する微分として定義されます。
[
A^\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau}
]
固有4元加速度は、4元速度ベクトルに垂直であるという性質を持ちます。つまり、ミンコフスキー内積において ( A \cdot U = 0 ) です。

7. 4元力ベクトル (Four-Force)

4元力ベクトル ( F^\mu ) は、運動量の4元ベクトルの固有時に対する微分として定義されます。
[
F^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau}
]
ここで、運動量の4元ベクトル ( p^\mu ) は ( p^\mu = m U^\mu ) と書けます（( m ) は質量）。