オイラー積について２

オイラー積の不思議な関係をいうためには、ゼータ関数と等しいことを示せばよいことになります。オイラー積は(1)式になります。

$${\displaystyle\prod_{{p:prime}} =\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}\right) }$$ $${\displaystyle=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{7^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{11^2}}\right) \cdots\\ \displaystyle=\frac{\pi^2}{6}\cdots(1)}$$

ゼータ関数は次の(2)式になります。

$${\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}\cdots=\frac{\pi^2}{6}\cdots(2)}$$

まず、正の整数はを素因数分解することと考えます。例えば120という整数は$${2^3\times3\times5}$$のように素数のべき乗の積で表すことができ、なおかつすべての整数の素因巣分解は1通りしか存在しません。ということは1から無限大までのすべての整数の積は次の通り表すことができます。

$${\displaystyle(2^0+2^1+2^2+2^3+\cdots)(3^0+3^1+3^2+3^3+\cdots)(5^0+5^1+5^2+5^3+\cdots)(7^0+7^1+7^2+7^3+\cdots)\cdots\\=1+2+3+4+5+6+\cdots}$$

となります。しかし、これでは数字が限りなく大きくなりすぎて計算できませんが、逆数を取るとある程度正確に計算することができます。 $${\displaystyle\left(\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots\right)\left(\frac{1}{3^0}+\frac{1}{3^1}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots\right)\\\left(\frac{1}{5^0}+\frac{1}{5^1}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^3}+\cdots\right)\left(\frac{1}{7^0}+\frac{1}{7^1}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{7^3}+\cdots\right)\cdots\\=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\cdots}$$

グラフにすると次のようになります。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')
n = 100000
x = np.arange(1, n+1)
#1/nの合計
sigma=0
func=[]
for i in x:
   sigma+=(1/i)
   func.append(sigma)
func_np=np.array(func)
#グラフの作成
formula=[1/x,func_np]
labels = [r'$\sum \frac{1}{x}$',r'$\frac{1}{x}$']
colors=['b','r']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color in zip(formula, labels,colors):
   plt.plot(x,fx, color, label = label)
plt.grid()
plt.title(r'$\sum \frac{1}{x}$と$\frac{1}{x}$の関係',fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

これに対して1/素数のn乗の積を取ると、同様なグラフを描くことができます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')

prime_100=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
          73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
          163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241,
          251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,
          349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439,
          443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541]
p_num = 100
n=100
prime_list=prime_100[:p_num]
x = np.arange(p_num)
func=[]
sigma1=1
for p in prime_list:
   sigma2=0
   for k in range(n):
       sigma2+=1/(p**(k))
   sigma1*=sigma2
   func.append(sigma1)
   func_np=np.array(func)
#グラフの作成
formula=[func_np]
labels = [r'$\sum \frac{1}{p}$']
colors=['r']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color in zip(formula, labels,colors):
   plt.plot(x,fx, color, label = label)
plt.grid()
plt.title(r'$\frac{1}{p}$の総和',fontname='MS Gothic')
plt.xlabel('p')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

それでは、1/素数の2乗に対してn乗した値の積は$${\frac{\pi^2}{6}}$$になります。

$${\displaystyle\left(\frac{1}{2^{0\times2}}+\frac{1}{2^{1\times2}}+\frac{1}{2^{2\times2}}+\frac{1}{2^{3\times2}}+\cdots\right)\left(\frac{1}{3^{0\times2}}+\frac{1}{3^{1\times2}}+\frac{1}{3^{2\times2}}+\frac{1}{3^{3\times2}}+\cdots\right)\\ \left(\frac{1}{5^{0\times2}}+\frac{1}{5^{1\times2}}+\frac{1}{5^{2\times2}}+\frac{1}{5^{3\times2}}+\cdots\right) \left(\frac{1}{7^{0\times2}}+\frac{1}{7^{1\times2}}+\frac{1}{7^{2\times2}}+\frac{1}{7^{3\times2}}+\cdots\right)\cdots\\=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}\cdots=\frac{\pi^2}{6}}$$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.style.use('seaborn-poster')

prime_100=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
          73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
          163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241,
          251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,
          349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439,
          443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541]
alphas=[0.2,1]
widths=[7,1]

p_num = 100
n=100
prime_list=prime_100[:p_num]
x = np.arange(p_num)
func=[]
sigma1=1
for p in prime_list:
   sigma2=0
   for k in range(n):
       sigma2+=1/(p**(2*k))
   sigma1*=sigma2
   func.append(sigma1)
   func_np=np.array(func)
#グラフの作成
formula=[func_np,np.full(p_num,np.pi**2/6)]
labels = [r'$\sum \frac{1}{p^2}$',r'$\frac{\pi^2}{6}$']
colors=['r','b']
plt.figure(figsize = (10,8))
for fx, label, color ,alpha, w in zip(formula, labels,colors,alphas,widths):
   plt.plot(x,fx, color, label = label ,alpha=alpha,linewidth=w)
plt.grid()
plt.title(r'$\sum \frac{1}{p^2}$と$\frac{\pi^2}{6}$の関係',fontname="MS Gothic")
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()

オイラー積にだいぶ近づいてきました。

次に、$${\displaystyle\left(\frac{1}{2^{0\times2}}+\frac{1}{2^{1\times2}}+\frac{1}{2^{2\times2}}+\frac{1}{2^{3\times2}}+\cdots\right)}$$について考えます。この式は、初項$${\displaystyle\frac{1}{2^{0\times2}}}$$、公比$${\displaystyle\frac{1}{2^2}}$$の無限数列の和になるので、$${\displaystyle\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}}$$になります。同様に、$${\displaystyle\left(\frac{1}{3^{0\times2}}+\frac{1}{3^{1\times2}}+\frac{1}{3^{2\times2}}+\frac{1}{3^{3\times2}}+\cdots\right)={1-\frac{1}{3^2}}\cdots\left(\frac{1}{p^{0\times2}}+\frac{1}{p^{1\times2}}+\frac{1}{p^{2\times2}}+\frac{1}{p^{3\times2}}+\cdots\right)={1-\frac{1}{p^2}}}$$と変形することができます。このことから$${\displaystyle\prod_{{p:prime}}=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}\right)=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{7^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{11^2}}\right) \cdots=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}\cdots=\frac{\pi^2}{6}}$$という興味深い結果になります。