オイラー積について

ゼータ関数において次の関係が成り立ちます。

 $${\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^{2}}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}\cdots=\frac{\pi^2}{6}}$$

整数の2乗分の1の総和が$${\pi}$$と関連するので、これだけでも驚きですが、今度は素数に関わる数列の総和に$${\pi}$$が出てくるという興味深い結果について調べます。これをオイラー積といい、次式が成り立ちます。

$${\displaystyle\prod_{{p:prime}}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{7^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{11^2}}\right)\cdots\\\displaystyle=\frac{\pi^2}{6}}$$

素数を100個取り、計算すると小数点第4位まで$${\pi}$$が正しく計算できました。

from fractions import Fraction
prime_100=[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
          73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157,
          163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241,
          251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,
          349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439,
          443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541]

mul = Fraction(1,1)
for i in prime_100:
   mul *= Fraction(1,1-Fraction(1,i**2))
print(f'100までの素数で計算={float(mul)} piとの近似={(mul*6)**0.5}')

#100までの素数で計算=1.6445152217242938 piとの近似=3.1411926604946983

ちなみに、素数ではなく2以上の正の整数の場合には、異なる結果となります。

$${\displaystyle\prod_{k \geq 2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{3^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{4^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{5^2}}\right) \left(\frac{1}{1-\frac{1}{6^2}}\right) \cdots\\ }$$ $${\left(\displaystyle 1-\frac{1}{k^2}\right)^{-1}=\displaystyle \left(\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}\right)^{-1}=\displaystyle\prod_{k \geq 2}^{n}\left(\frac{k^2}{(k-1)(k+1)}\right)}$$なので $${\displaystyle\prod_{k \geq 2}^{n}\left(1-\frac{1}{k^{2}}\right)^{-1}=\displaystyle\prod_{k \geq 2}^{n}\left(\frac{k^2}{(k-1)(k+1)}\right)\\ \displaystyle =\frac{2^2}{1\cdot3}\cdot\frac{3^2}{2\cdot4}\cdot\frac{4^2}{3\cdot5}\cdots\frac{(n-1)^2}{(n-2) n}\cdot\frac{n^2}{(n-1)(n+1)}=\frac{2n}{n+1}=\displaystyle\frac{2}{1+\frac{1}{n}}}$$

from fractions import Fraction
mul = Fraction(1,1)
n=100
for i in range(2,n+1):
   mul *= Fraction(1,1-Fraction(1,i**2))
print(f'100までの正の整数で計算={mul}({float(mul):.10f}) 2/(1+1/n)={Fraction(2,1+Fraction(1,n))}')

#100までの正の整数で計算=200/101(1.9801980198) 2/(1+1/n)=200/101

$${n=100}$$まで計算してみると結果が正しいことがわかりますが、$${\frac{2}{1+\frac{1}{n}}}$$は$${n \to \infty}$$で2に収束することがわかります。これはこで、数字がきれいに消えて単純な計算結果になるので面白いものです。ここいらはとても根深そうなので今後探っていきます。