マチンの公式でどれくらいの精度で円周率を計算できるか？

円周率の計算で、arctan(1)の4倍を計算する方法で、これには次にように展開することができます。

ここで第100項まで計算しても、3.13159290355855276431と、小数点第1位までしか精度は得られません。ところが、この式を少し改造して、次の通りにします。

すると、第100項まで計算すると61桁まで正しく計算してくれます。

この式をさらに発展させると、マチンの公式があります。

この方法によると、小数点第141位まで行けてしまいます。

さらに、ここから派生していろいろな式が導き出されています。以下その結果を示します。

arctan1           精度：  1
arctan2           精度： 61
machin            精度：141
euler1            精度：170
euler2            精度：141
jacob             精度： 61
hutton1           精度：121
hutton2           精度： 97
gaus              精度：252
stormer1          精度：182
stormer2          精度：352
klingenstierna    精度：201
simson            精度：201
takano            精度：340

第100項までぶん回した結果ですが、神奈川県の学校の教諭である高野喜久雄さんがさんが導き出した式がかなりの精度を出しています。

中にはガウスやオイラーの名前もあります。もし、ガウスやオイラーが現代に生きていてコンピュータを使うことができたらどんなにすごい研究がされたのかと思ってしまいます。逆に、上記の計算をガウスやオイラーの時代にしたら一生かかっても終わらないと思われます。

パソコンを簡単に手に入れることができ、Pythonを無料でインストールすることができる時代に生きていることがいかに幸せか、そんなことを思ってしまいます。