円預金期待リターンないのにそこそこリスク大きい
円預金を持っている時点で、円でかなりリスクがあるっていうのは結構当たり前に言われてきた話ではあるんですが、どれだけリスクがあるのかっていう話をしたいなと思っております。
統計初心者の方のために説明すると、リターンはおおよそ正規分布に近くなり（近似し）、正規分布の形を決めるのは、平均（mean, μ）と標準偏差（standard deviation, σ）と言うことになります。何故なら、正規分布の確率密度関数（probability density function）は以下のように定義でき、変数は平均 μ と標準偏差 σ であるからです。
（株式のインデックスが正規分布に近くなる理由については、以下にChatGPTに答えてもらいました。）
株式指数の日次リターンが標準分布になる理由は、以下の通りです。
中心極限定理: 中心極限定理によると、大量の独立した同一分布を持つ変数の合計（または平均）は、元の分布に関係なく、近似的に正規分布に従います。株式指数の場合、構成銘柄の個々の価格動向は独立した変数と見なすことができます。これらを集計して指数の全体的な動きを計算すると、中心極限定理により、リターンの分布は正規分布に近くなります。
株式指数の多様性: 株式指数は通常、様々なセクターの多種多様な株式で構成されています。この多様性により、個別株に関連する特有の非システム的リスクが平滑化されます。その結果、よく多様化された指数の集合的な振る舞い（リターンの面で）は、平均周辺に集中する分布を示し、正規分布に似た形になります。
ランダムウォーク仮説: この仮説は、株価の変動は互いに独立しており、同じ分布を持つと述べています。時間の経過とともに、これら独立して同一分布の変動が、リターンの正規分布に寄与することがあります。ランダムウォークでは、過去の株価の動きが未来の動きに影響を与えないため、統計的な意味で全体の経路がより予測可能になり、しばしば正規分布に似た形になります。
市場の効率性: 効率的市場仮説は、株価が利用可能な全ての情報を反映していると考えます。多くの市場参加者による新情報への絶え間ない調整は、正規分布に似たリターンの分布につながることがあります。新しい情報は、ポジティブである可能性とネガティブである可能性が同等であり、リターンの分布を対称的にします。
実用的なモデリング理由: 金融モデリングでは、その単純さと数学的な操作の容易さのために、しばしば正規分布が使用されます。現実の世界のリターンは「太い尾」（正規分布よりも極端な値が一般的）を示し、完全に正規ではありませんが、金融の多くの目的に対して正規分布は有用な近似です。
日次株式リターンはしばしば正規分布に似ていますが、完全に正規分布ではありません。金融市場はしばしば、クルトーシス（太い尾）や歪度を示し、これは、真の正規分布では予想されるよりも極端なリターンがより一般的であることを意味します。これは特に市場のストレスや金融危機の時に顕著になります。
平均が分かることで、そのアセットクラスが平均的にどの程度変化するか、変化の実現値が平均とどれくらい乖離することが多いかがわかると言うことです。
ドル円に関しては、mean -0.74% SD 11.45%
SP500に関しては、mean 9.98% SD 16.28%
NIKKEI225に関しては、mean 5.62% SD 21.97%
goldに関しては、mean 4.14% SD 15.56%
MSCI Worldに関しては、mean 11.81% SD 18.84%
これでみると、円は期待値が全然高くないのに標準偏差で見ると若干大きいように感じ、これなら期待値が9.98%得られてドル円よりも若干標準偏差の大きなSP500を持っていた方がお得な感じがします。
テールリスクについてもきちんと定量的に分析はできていないものの、ドル円も変わらずテールリスクがある気がしてしまい、それなら投資信託持っていた方が期待リターンもリスクも案外少ないのではという印象になりました。
ドル円 データ参照元（positive→円安）
SP500 データ参照元
https://www.macrotrends.net/2324/sp-500-historical-chart-data
NIKKEI225 データ参照元
https://www.macrotrends.net/2593/nikkei-225-index-historical-chart-data
gold データ参照元
https://www.macrotrends.net/1333/historical-gold-prices-100-year-chart
MSCI World データ参照元（ユーロ換算）