「AIは数学が苦手」という性質を利用して数学力を磨く
数学では一行一行を納得しながら読む、ということが重要だと考えます。
AIに対してよく「数学が苦手」、「簡単な計算問題も解けない」と言われることがありますが、この性質を利用すると逆に数学力が付くのではないかと感じました。
つまり「AIが提示してくれたこの文章は合っているのか？」を念頭に入れながら丁寧に読み解くことで洞察が深まるような気がします。
最近このようなやり取りがありました（ガンマ関数の収束性について気になったので、そのやり取りの一部です）。
【私】
$${\int_{0}^{1} t^{(s-1)} dt}$$ について、$${s>0}$$ だから $${\frac{1}{s}(1^{s}-0^{s}) = \frac{1}{s}}$$ という認識であっていますか？
【AI】
はい、その認識は正確です。詳しく説明しましょう。
$${\int_{0}^{1} t^{(s-1)} dt}$$ の計算過程を再度確認します：
不定積分： $${\int t^{(s-1)} dt = \frac{1}{s} \cdot t^s + C (s \ne 0)}$$
定積分の計算： $${\int_{0}^{1} t^{(s-1)} dt = \frac{1}{s}(1^{s}-0^{s})}$$
ここで、$${s > 0}$$ という条件が重要になります：
$${1^s = 1}$$ （任意の s に対して）
$${0^s}$$ の扱いが $${s}$$ の値によって変わります：
$${s > 1}$$ のとき、$${0^s = 0}$$
$${0 < s < 1}$$ のとき、$${0^s}$$ は定義されません（数学的には極限として0に近づく）
$${s=1}$$ のとき、$${0^s = 0}$$
したがって、$${s > 0}$$ のすべての場合で、実質的に $${0^s}$$ の項は消えます。
結果として：
$${\int_{0}^{1} t^{(s-1)} dt = \frac{1}{s} \cdot (1 - 0) = \frac{1}{s}}$$
この結果は $${s > 0}$$ のすべての値に対して有効です。
注意点：
$${s = 0}$$ の場合はこの式が成り立ちません（0での除算が発生するため）。
$${0 < s < 1}$$ の場合、厳密には $${0^s}$$ が定義されませんが、極限の概念を用いることで、結果として同じ $${\frac{1}{s}}$$ という値が得られます。
あなたの認識は正確で、$${s > 0}$$ という条件下での積分の結果を適切に理解されています。
【私】
「$${0 < s < 1}$$ のとき、$${0^s}$$ は定義されません」の部分に違和感があります。 例えば $${s = \frac{1}{2}}$$として $${0^s = \sqrt{0}}$$ となり、この値は0になると思います。
ここでは誤っている部分をピンポイントで抜粋しているので分かりやすいのですが、長いやり取りだとミスを見逃してしまいそうです。
ただ、数学に限らずそれっぽい文章を書いてくれるのはAIの特徴なのですが、それを利用することもできるんだなという気付きを得ました。
それに最近のAI、私はClaude.AIを使っているのでそれに限定されるのですが、意外と論理的な問いについてはうまく導いてくれます。「○○の定理について証明方法を教えて」の形でよく聞きながら知らないところは深掘りしながら理解を深めています。