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興味深い求値問題

大澤裕一

[問題]
実数$${a,b,c,x,y,z}$$が
　　$${ax+by+cz=1}$$
　　$${ax^2+by^2+cz^2=2}$$
　　$${ax^3+by^3+cz^3=6}$$
　　$${ax^4+by^4+cz^4=24}$$
　　$${ax^5+by^5+cz^5=120}$$
　　$${ax^6+by^6+cz^6=720}$$
を満たすとき、$${ax^7+by^7+cz^7}$$の値を求めよ。

仮定の式は、$${ax^n+by^n+cz^n=n!}$$が$${n=1,2,3,4,5,6}$$で成り立つことを意味します。これにより、「$${ax^7+by^7+cz^7}$$の値は$${7!=5040}$$では？」と思われた方も多いかと思いますが、実際のところはどうでしょうか。（略解を下のツイートの下に掲載しています）

[略解]
$${W_n=ax^n+by^n+cz^n~(n=1,2,3,\cdots)}$$とおく。
すると、本問の仮定は$${W_n=n!~(n=1,2,3,4,5,6)}$$であり、また求めるべき値は$${W_7}$$である。
$${P=x+y+z,Q=yz+zx+xy,R=xyz}$$とおく。

まず、$${W_n}$$の満たす$${4}$$項間漸化式を$${1}$$つ導く。
$${t}$$の$${3}$$次方程式$${t^3=Pt^2-Qt+R}$$は$${t=x,y,z}$$を$${3}$$解に持つので、
　$${x^3=Px^2-Qx+R \cdots①}$$
　$${y^3=Py^2-Qy+R \cdots②}$$
　$${z^3=Pz^2-Qz+R \cdots③}$$
①,②,③の辺々にそれぞれ$${ax^n,by^n,cz^n}$$をかけて辺々足すことで、
　$${W_{n+3}=PW_{n+2}-QW_{n+1}+RW_n \cdots ④ ~(n=1,2,3,\cdots)}$$
を得る。

次に、$${P,Q,R}$$を求める。④に$${n=1,2,3}$$を代入すると（仮定も加味して）
　$${24=6P-2Q+R}$$
　$${120=24P-6Q+2R}$$
　$${720=120P-24Q+6R}$$
が得られる。これらを$${P,Q,R}$$について解き、
　$${(P,Q,R)=(12,36,24)}$$
を得る。

以上より、求める値$${W_7}$$は（④で$${n=4}$$を代入して）
　$${W_7=12W_6-36W_5+24W_4=4896}$$


■復習問題（簡単な類題）です。考えてみてください！（まず、答を予想すると面白いでしょう）。







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