アクティブ運用の基本法則（4）：IR=IC×√ブレス（簡単な導出）

以下のエントリーでアクティブ運用の基本法則（IR=IC×√ブレス）を確認しましたが、結構、導出が長いのでもっと簡単な導出方法を紹介しておきます。

目的関数から最適解を求めるところまでは同じですので、上記のエントリーを参照ください。

$${{\bf w}^*=\frac{\sigma_A}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}\Omega^{-1}\alpha}$$

これをIRの式にそのまま代入します。

$${IR=\frac{E(R_A)}{\sigma_A}=\frac{{\bf{w}}'\alpha}{\sqrt{{\bf{w}}'\Omega^{-1}{\bf{w}}}}=\frac{(\frac{\sigma_A}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}\Omega^{-1}\alpha)'\alpha}{\sqrt{(\frac{\sigma_A}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}\Omega^{-1}\alpha)'\Omega^{-1}\frac{\sigma_A}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}\Omega^{-1}\alpha}}=\frac{\frac{\sigma_A}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}\alpha'\Omega^{-1}\alpha}{\frac{\sigma_A}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\Omega\Omega^{-1}\alpha}}=\frac{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}{\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}=\sqrt{\alpha'\Omega^{-1}\alpha}}$$

レジデュアル・リターン同士の無相関（$${\Omega}$$が対角行列）を仮定すれば、

$${IR=\sqrt{\Sigma_{i=1}^N (\frac{\alpha_i}{\sigma_i})^2} }$$

これに以下のエントリーで確認した

$${\alpha_i=IC\times\sigma_i\times z_i}$$

を代入すると、

$${IR=\sqrt{\Sigma_{i=1}^N (\frac{IC\times\sigma_i\times z_i}{\sigma_i})^2}=IC\sqrt{\Sigma_{i=1}^N z_i^2} }$$

$${z_i}$$は標準化されたスコアで平均0、標準偏差1なので、

$${Var(z_i)=\frac{1}{N}\Sigma_{i=1}^N z_i^2=1}$$

$${\Sigma_{i=1}^N z_i^2=N}$$

から、

$${IR=IC\sqrt{\Sigma_{i=1}^N z_i^2}=IC\times \sqrt{N}}$$

で基本法則が求まりました。こちらの方が圧倒的に楽ですね。

ご参考になれば幸いです。

参考文献
Roger Clarkea, Harindra de Silvaa and Steven Thorly (2006)
"THE FUNDAMENTAL LAW OF ACTIVE PORTFOLIO MANAGEMENT"
JOURNAL OF INVESTMENT MANAGEMENT, Vol. 4, No. 3, (2006), pp. 54–72