効率的ポートフォリオの導出（4）：最小分散ポートフォリオの導出と最適条件

前回、ポートフォリオのウェイトの合計が1という制約条件下でリスク控除後リターンの最大化問題を解いて効率的なポートフォリオを導出しました。

今回は最小分散ポートフォリオを導出して、その最適条件（全ての資産の期待リターンが一定）を確認します。

まず最小分散ポートフォリオの定式化です。

$${\min \frac{1}{2}\bm{w}'\Sigma \bm{w}  s.t. \bm{w}'\bm{1}=1}$$

いつものようにラグランジュ関数を用意します。

$${L=\frac{1}{2}\bm{w}'\Sigma \bm{w}-\lambda( \bm{w}'\bm{1}-1)}$$

偏微分して0とおきます。

$${\frac{\partial{L}}{\partial{\bm{w}}}=\Sigma \bm{w}-\lambda \bm{1}=\bm{0}}$$

$${ \bm{w}=\lambda \Sigma^{-1}\bm{1}　(1)}$$

制約条件を使うため$${\bm{1}'}$$を両辺にかけます。

$${ \bm{1}'\bm{w}=1=\lambda \bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}}$$

$${ \lambda=\frac{1}{ \bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}}}$$

これはかなりすっきりしていますね。(1)式に代入すれば最小分散ポートフォリオが得られます。

$${ \bm{w}_{MV}= \frac{\Sigma^{-1}\bm{1}}{ \bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}}}$$

$${\bm{1}}$$と$${ \Sigma }$$だけでできている非常に美しい解ですね。分子で$${\bm{1}}$$を共分散行列の逆行列で引き戻しているので、すでにこの解に最小分散ポートフォリオの最適条件（全ての資産の期待リターンが一定）が垣間見えています。目的関数にも制約条件にも期待リターンが入っていないので、最適解にも期待リターンが入っていません。当たり前ですが、最小分散ポートフォリオは期待リターンの影響を全く受けない最適化になります。

さて、同じ制約条件下の最適ポートフォリオは以下でした。

$${ \bm{w}_{Opt}=\Sigma^{-1}(\bm{r} -\frac{\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{r} -1}{\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}} \bm{1})}$$

全ての資産の期待リターンが定数$${r}$$の場合を考えます。

$${ \bm{w}_{Opt}=\Sigma^{-1}(r\bm{1} -\frac{r\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1} -1}{\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}}\bm{1})}$$

$${ =(r -\frac{r\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1} -1}{\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}})\Sigma^{-1}\bm{1}}$$

$${ = \frac{\Sigma^{-1}\bm{1}}{\bm{1}'\Sigma^{-1}\bm{1}} }$$

はい、最小分散ポートフォリオになりました。全ての期待リターンが一定の場合は最小分散ポートフォリオが最適ポートフォリオになることが示せました。

今後のエントリーでリスクパリティや最大分散度ポートフォリオも同様に最適性を確認してみたいと思いますが、最小分散ポートフォリオのようにきれいには示すことができず、少しトリッキーな証明になります。