リスク・パリティ・ポートフォリオ（1）：定義と特徴
各資産のリスク寄与度を均等にするリスク・パリティ・ポートフォリオについてはいくつか有名な論文がありますが、その中の一つが以下のMaillard et al. (2010)です。リスク・パリティ・ポートフォリオについて学習をする際は一読お勧めします。 さて今回はこの論文をベースにリスク・パリティ・ポートフォリオの特性を確認したいと思います。
"The Properties of Equally Weighted Risk Contribution Portfolios"
Sébastien Maillard, Thierry Roncalli, and Jérôme Teïletche
The Journal of Portfolio Management Summer 2010, 36 ( 4) 60 - 70
まずポートフォリオのリスクを各資産のリターンの標準偏差で定義します。
$${\sigma_p=\sqrt{\bm{w}'\Sigma\bm{w}}}$$
いつものように$${\bm{w}}$$がポートフォリオのウェイトベクトル、$${\Sigma}$$が共分散行列です。
次に限界リスク寄与度を次のように定義します。
$${MRC_i = \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i}=\frac{(\Sigma \bm{w})_i}{\sigma_p} = \frac{\Sigma_{j} w_j \sigma_{ij}}{\sigma_p} = \frac{\Sigma_{j} w_j \rho_{ij}\sigma_i \sigma_j}{\sigma_p} = \frac{w_i\sigma_i^2 +\sigma_i\Sigma_{j\ne i} \rho_{ij}w_j\sigma_j}{\sigma_p}}$$
$${(\Sigma \bm{w})_i}$$はベクトル$${\Sigma \bm{w}}$$の$${i}$$成分、$${\sigma_{ij}}$$、$${\rho_{ij}}$$は資産$${i}$$、$${j}$$の共分散と相関を示します。
資産$${i}$$のリスク寄与度は限界リスク寄与度にウェイトをかけたものです。
$${RC_i = w_i \times \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i}=\frac{w_i^2\sigma_i^2 +w_i\sigma_i\Sigma_{j\ne i} \rho_{ij}w_j\sigma_j}{\sigma_p}}$$
リスク・パリティ・ポートフォリオは各資産のリスク寄与度が等しいポートフォリオなので以下のように定義ができます。
$${w_{RP} = \{RC_i = RC_j, \Sigma w_i=1 \forall i, j\} }$$
$${= \{w_i \times \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i} = w_j \times \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_j}, \Sigma w_i=1 \forall i, j\}}$$
これは次のような最適化問題に置き換えることができます。目的関数の置き方は色々ありますが、ここでは最も簡単なものを紹介しています。
$${\min \Sigma_i^n(RC_i-\frac{1}{n})^2 s.t. \Sigma_i^n w_i=1}$$
通常は解析的に解くことができないので、逐次二次計画法（SQP）で解を探索します。ただし幾つかの条件の下では解が解析的に求まります。有名なのは各資産の相関が一定の場合です。すなわち$${\rho_{ij}=\rho \forall i\ne j}$$の場合です。この時リスク寄与度は以下のようになります。
$${RC_i = w_i \times \frac{\partial \sigma_p}{\partial w_i} =\frac{w_i^2\sigma_i^2 +w_i\sigma_i\rho\Sigma_{j\ne i} w_j\sigma_j}{\sigma_p}=\frac{w_i^2\sigma_i^2 -\rho w_i^2\sigma_i^2+ w_i\sigma_i\rho\Sigma_{j} w_j\sigma_j}{\sigma_p}=\frac{w_i\sigma_i(w_i\sigma_i -\rho w_i\sigma_i+ \rho\Sigma_{j} w_j\sigma_j)}{\sigma_p}=\frac{w_i\sigma_i\{(1 -\rho)w_i\sigma_i+ \rho\Sigma_{j} w_j\sigma_j\}}{\sigma_p}}$$
リスク・パリティ・ポートフォリオの条件にこれを代入します
$${RC_i = RC_j}$$
$${\frac{w_i\sigma_i\{(1 -\rho)w_i\sigma_i+ \rho\Sigma_{j} w_j\sigma_j\}}{\sigma_p}=\frac{w_j\sigma_j\{(1 -\rho)w_j\sigma_j+ \rho\Sigma_{i} w_i\sigma_i\}}{\sigma_p}}$$
上記を満たす合計1となるポートフォリオ・ウェイトは以下のようになります（分母は合計1となるようなスケーリング・ファクター）。
$${w_{IV}=\frac{\sigma_i^{-1}}{\Sigma_j^n\sigma_j^{-1}}}$$
これは各資産のボラティリティの逆数で重みづけしたポートフォリオになるのでボラティリティ・インバース（逆標準偏差）・ポートフォリオと呼ばれます。