アクティブ運用の基本法則（2）：IR=IC×√ブレス（制約なしの基本法則）

さて次は次の基本法則を見ていきます。

IR=IC×√ブレス

ブレスは独立した予測回数ですが、一般に銘柄数Nと考えることが多いので、

IR=IC×√N

を導出することになります。

では始めます。まず次のポートフォリオ最適化問題を考えます。

$${\max U = E(R_A)-\frac{\lambda}{2}\sigma_A^2={\bf w}'{\bf\alpha}-\frac{\lambda}{2}{\bf w}'\Omega{\bf w}}$$

$${R_A}$$がアクティブ・リターン、$${\sigma_A}$$がアクティブ・リスク、$${\lambda}$$はリスク回避度、$${\bf{w}}$$がアクティブ・ウェイト・ベクトル、$${\bf{\alpha}}$$がアルファ（予想レジデュアル・リターン）・ベクトル、$${\Omega}$$がレジデュアル・リターンの共分散行列で、レジデュアル・リターン同士は無相関を仮定するので対角行列です。普通の平均分散最適化（IR＝情報比最大化）ですね。

制約なしなので偏微分して0とおくだけで解けますね。

$${\frac{\partial U}{\partial {\bf w}}={\bf \alpha}-\lambda\Omega{\bf w}={\bf 0}}$$

$${{\bf w}^{*}=\frac{1}{\lambda}\Omega^{-1}{\bf\alpha}}$$

得られた解をアクティブ・リスクの式に代入します。

$${\sigma_A^2={\bf w}'\Omega{\bf w}=(\frac{1}{\lambda}\Omega^{-1}{\bf\alpha})'\Omega(\frac{1}{\lambda}\Omega^{-1}{\bf\alpha})=\frac{1}{\lambda^2}{\bf\alpha}'\Omega^{-1}\Omega\Omega^{-1}{\bf\alpha}=\frac{1}{\lambda^2}{\bf\alpha}'\Omega^{-1}{\bf\alpha}}$$

$${\lambda=\frac{\sqrt{{\bf\alpha}'\Omega^{-1}{\bf\alpha}}}{\sigma_A}}$$

得られた$${\lambda}$$を最適解に代入すると、

$${{\bf w}^{*}=\frac{\sigma_A}{\sqrt{{\bf\alpha}'\Omega^{-1}{\bf\alpha}}}\Omega^{-1}{\bf\alpha}}$$

一般解が得られました。ここでレジデュアル・リターンの無相関の仮定を導入すると$${\Omega}$$が対角成分にレジデュアル分散が並ぶ対角行列になるので、

$${w_i^*=\frac{\sigma_A}{\sqrt{\Sigma_{i=1}^N(\frac{\alpha_i}{\sigma_i})^2}}\frac{\alpha_i}{\sigma_i^2}}$$

が最適解になります。

さて前回のエントリーで以下を確認しました。

$${\alpha_i=IC\times\sigma_i\times z_i}$$

最適解の分母に出てきた$${\frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$について検討します。

$${\frac{\alpha_i}{\sigma_i}=IC\times z_i}$$

$${z_i}$$が標準化したスコアだったことを思い出せば、$${\frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$の平均は0、標準偏差はICであることはすぐに分かります。よって、

$${Var{(\frac{\alpha_i}{\sigma_i})}=\frac{1}{N}\Sigma_{i=1}^N (\frac{\alpha_i}{\sigma_i})^2=IC^2}$$

なので最適解は、

$${w_i^*=\frac{\sigma_A}{\sqrt{\Sigma_{i=1}^N(\frac{\alpha_i}{\sigma_i})^2}}\frac{\alpha_i}{\sigma_i^2}＝\frac{\sigma_A}{\sqrt{N\times IC^2}}\frac{\alpha_i}{\sigma_i^2}=\frac{\sigma_A}{IC\sqrt{N}}\frac{\alpha_i}{\sigma_i^2}}$$

となります。次に、

$${w_i^*\sigma_i=\frac{\sigma_A}{IC\sqrt{N}}\frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$

の平均と標準偏差を考えます。前の項は定数なので後ろ$${\frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$について考えればよく、その平均は0、標準偏差はICだったので、$${w_i^*\sigma_i}$$の平均も0、標準偏差は、

$${Std(w_i^*\sigma_i)=\frac{\sigma_A}{IC\sqrt{N}}Std(\frac{\alpha_i}{\sigma_i})=\frac{\sigma_A}{\sqrt{N}}}$$

です。さて、最適ポートフォリオの期待アクティブ・リターンは、

$${E(R_A)={\bf w}'{\bf\alpha}=\Sigma_{i=1}^N w_i^*\alpha_i=\Sigma_{i=1}^N w_i^*\sigma_i \times \frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$

ここで$${w_i^*\sigma_i}$$と$${\frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$の共分散は両者の平均が0だったことに注意すれば、

$${Cov(w_i^*\sigma_i, \frac{\alpha_i}{\sigma_i})=\frac{1}{N}\Sigma_{i=1}^N w_i^*\sigma_i \times \frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$

よって、

$${E(R_A)=\Sigma_{i=1}^N w_i^*\sigma_i \times \frac{\alpha_i}{\sigma_i}=NCov(w_i^*\sigma_i, \frac{\alpha_i}{\sigma_i})=N \times Cor(w_i^*\sigma_i, \frac{\alpha_i}{\sigma_i}) \times Std(w_i^*\sigma_i)\times Std(\frac{\alpha_i}{\sigma_i})=N \times Cor(w_i^*\sigma_i, \frac{\alpha_i}{\sigma_i}) \times \frac{\sigma_A}{\sqrt{N}} \times IC =\sqrt{N} \times Cor(w_i^*\sigma_i, \frac{\alpha_i}{\sigma_i}) \times \sigma_A \times IC}$$

さて最適ポートフォリオでは以下が成り立っているので、$${Cor(w_i^*\sigma_i, \frac{\alpha_i}{\sigma_i})=1}$$、

$${w_i^*\sigma_i=\frac{\sigma_A}{IC\sqrt{N}}\frac{\alpha_i}{\sigma_i}}$$

よって、

$${E(R_A) =\sqrt{N} \times \sigma_A \times IC}$$

から求めたかった基本法則が導出できました（お疲れ様でした）。

$${IR=\frac{E(R_A) }{\sigma_A}=  IC \times\sqrt{N} }$$

ご参考になれば幸いです。