アクティブ運用の基本法則（7）：アルファ＝IC×ボラティリティ×スコア（クロスセクション）

以下のエントリーでは時系列の線形回帰モデルを使って、アクティブ運用の基本法則（アルファ=IC×ボラティリティ×スコア）を確認しました。クロスセクション（銘柄間）の回帰モデルを使っても同様の結論を導き出すことができます。

まずクロスセクションの線形回帰モデルを用意します。

$${r_i^{Total}=\beta_iR_B+r_i}$$

$${r_i^{Total}}$$が銘柄$${i}$$のトータル・リターン、$${\beta_i}$$がベータ、$${R_B}$$がベンチマーク・トータル・リターン、$${r_i}$$が銘柄$${i}$$のレジデュアル・リターンです。

次にレジデュアル・リターンをスコアを使って予想することを考えます。

$${\alpha_i=a+bS_i}$$

$${\alpha_i}$$が銘柄$${i}$$のアルファ（予想レジデュアル・リターン）、$${S_i}$$がそのスコアです。

最小二乗法でパラメータを求めます。

$${\min \Sigma_{i=1}^N \varepsilon_i^2 =\Sigma_{i=1}^N (r_i-a-bS_i)^2}$$

正規方程式を解くと、

$${a=\bar{r}-b\bar{S}}$$

$${b=\frac{Cov(r, S)}{Var(S)}=\frac{\sigma_{r, S}}{\sigma_S^2}}$$

$${\bar{r}}$$はレジデュアル・リターンの平均、$${\bar{S}}$$はスコアの平均です。これをもとの式に代入すると、

$${\alpha_i=\bar{r}-b\bar{S}+bS_i=\bar{r}+b(S_i-\bar{S})=\bar{r}+\frac{\sigma_{r, S}}{\sigma_S^2}(S_i-\bar{S})=\bar{r}+\frac{\sigma_{r, S}}{\sigma_r\sigma_S}\times \sigma_r\times \frac{S_i-\bar{S}}{\sigma_S}}$$

レジデュアル・リターンの平均が0、レジデュアル・リターンとスコアの相関がIC（$${IC=Cor(r, S)}$$）なので、

$${\alpha_i=\bar{r}+\frac{\sigma_{r, S}}{\sigma_r\sigma_S}\times \sigma_r\times \frac{S_i-\bar{S}}{\sigma_S}＝Cor(r, S)\times \sigma_r\times z_i = IC \times \sigma_r \times z_i}$$

で、アルファ=IC×ボラティリティ×スコアというアクティブ運用の基本法則が求まりました（$${z_i}$$は標準化されたスコア）。時系列の場合、レジデュアル・ボラティリティは銘柄$${i}$$のレジデュアル・リターンの時系列標準偏差$${\sigma_i}$$であったのに対して、ここではレジデュアル・リターンのクロスセクション・ボラティリティ$${\sigma_r}$$になっています。

ご参考になれば幸いです。