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効率的ポートフォリオの導出(5):リターン最大化(ボラティリティ制約)

以下のエントリーで分散を制約条件にリターン最大化問題を解きました。

最適解は以下でした($${v}$$が制約条件として与えた分散)。

$${ \bm{w}_{Max} = \sqrt{\frac{v}{\bm{r}' \Sigma^{-1}\bm{r}}} \Sigma^{-1}\bm{r}}$$

ボラティリティ($${s}$$とします)で制約を与える場合は、$${s^2=v}$$となるので、そのまま最適解に入れると、

$${ \bm{w}_{Max} = \sqrt{\frac{s^2}{\bm{r}' \Sigma^{-1}\bm{r}}} \Sigma^{-1}\bm{r}=\frac{s}{ \sqrt{\bm{r}' \Sigma^{-1}\bm{r}}} \Sigma^{-1}\bm{r}}$$

となります。本当にそうなるか最適化問題を解いて確認してみましょう。ボラティリティを制約条件として、リターン最大化します。

$${\max \bm{w}'\bm{r}   s.t.  \sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}=s}$$

ラグランジュ関数は、

$${L=\bm{w}'\bm{r}-\lambda(\sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}-s)}$$

ですね。$${\bm{w}}$$で偏微分して0とすると、

$${\frac{\partial L}{\partial \bm{w}}=\bm{r}-\lambda\frac{\Sigma \bm{w}}{\sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}}={\bm 0}}$$

$${\lambda\frac{\Sigma \bm{w}}{s}=\bm{r}}$$

$${ \bm{w}=\frac{s}{\lambda}\Sigma^{-1}\bm{r}}$$

制約条件に代入します。

$${ \sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}=\sqrt{(\frac{s}{\lambda}\Sigma^{-1}\bm{r})'\Sigma(\frac{s}{\lambda}\Sigma^{-1}\bm{r})}=s}$$

$${\frac{s}{\lambda}\sqrt{\bm{r}'\Sigma^{-1}\Sigma\Sigma^{-1}\bm{r}}=s}$$

$${\lambda=\sqrt{\bm{r}'\Sigma^{-1}\bm{r}}}$$

よって最適解は、

$${ \bm{w_{Max}}=\frac{s}{\sqrt{\bm{r}'\Sigma^{-1}\bm{r}}}\Sigma^{-1}\bm{r}}$$

となり、冒頭の解と一致しましたね。

ご参考になれば幸いです。


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