効率的ポートフォリオの導出(5):リターン最大化(ボラティリティ制約)
以下のエントリーで分散を制約条件にリターン最大化問題を解きました。
最適解は以下でした($${v}$$が制約条件として与えた分散)。
$${ \bm{w}_{Max} = \sqrt{\frac{v}{\bm{r}' \Sigma^{-1}\bm{r}}} \Sigma^{-1}\bm{r}}$$
ボラティリティ($${s}$$とします)で制約を与える場合は、$${s^2=v}$$となるので、そのまま最適解に入れると、
$${ \bm{w}_{Max} = \sqrt{\frac{s^2}{\bm{r}' \Sigma^{-1}\bm{r}}} \Sigma^{-1}\bm{r}=\frac{s}{ \sqrt{\bm{r}' \Sigma^{-1}\bm{r}}} \Sigma^{-1}\bm{r}}$$
となります。本当にそうなるか最適化問題を解いて確認してみましょう。ボラティリティを制約条件として、リターン最大化します。
$${\max \bm{w}'\bm{r} s.t. \sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}=s}$$
ラグランジュ関数は、
$${L=\bm{w}'\bm{r}-\lambda(\sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}-s)}$$
ですね。$${\bm{w}}$$で偏微分して0とすると、
$${\frac{\partial L}{\partial \bm{w}}=\bm{r}-\lambda\frac{\Sigma \bm{w}}{\sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}}={\bm 0}}$$
$${\lambda\frac{\Sigma \bm{w}}{s}=\bm{r}}$$
$${ \bm{w}=\frac{s}{\lambda}\Sigma^{-1}\bm{r}}$$
制約条件に代入します。
$${ \sqrt{\bm{w}' \Sigma \bm{w}}=\sqrt{(\frac{s}{\lambda}\Sigma^{-1}\bm{r})'\Sigma(\frac{s}{\lambda}\Sigma^{-1}\bm{r})}=s}$$
$${\frac{s}{\lambda}\sqrt{\bm{r}'\Sigma^{-1}\Sigma\Sigma^{-1}\bm{r}}=s}$$
$${\lambda=\sqrt{\bm{r}'\Sigma^{-1}\bm{r}}}$$
よって最適解は、
$${ \bm{w_{Max}}=\frac{s}{\sqrt{\bm{r}'\Sigma^{-1}\bm{r}}}\Sigma^{-1}\bm{r}}$$
となり、冒頭の解と一致しましたね。
ご参考になれば幸いです。