九州大学 2025年度数学科編入 第4問解答
問題はPDFにしました。
以下の文は解説ですが、スクロールすると解答の写真が出てきます。(字が汚いのは寛容な目で見ていただけると幸いです。)
(1)〜(3)は変数変換を用いて広義積分の値を求める問題です。誘導に乗ればそこまで難しくないでしょう。
(2)の範囲を求める問題に関して、(1)の結果を用いると、sinとcosの混ざった不等式が出てくると思いますが、これだと扱いにくいので、cosをsinに合わせて上げましょう。
具体的にはcos x =sin (π/2 - x)の公式を使いましょう。uおよびvが[0,π/2)に含まれることから、0＜π/2 - u≦π/2となり、sinの[0,π/2]上での単調性からsinを外すことが出来ますね！
(4)は積分と極限の交換の問題です。
一様収束を使いまくって解きましょう。
この問題は、ポイントが2つあります。
ポイント①
Dでf_m(x,y)は一様収束しません。しかし、コンパクト一様収束であることは言えますね。
だから、D_nがDの近似列となるように上手くとってあげて、D_n上では一様収束であることを利用しましょう。一様収束なら、積分と極限が入れ替えられますね！
ポイント②
次にI_n → I (n→∞)ですから、nを∞に飛ばさないといけませんね。しかし、ここでなんとnがΣのなかに入っています！Σも無限和なので、極限の入れ替えの問題になります。めんどうですが、丁寧にケアして上げる必要があります。
慣れている人は見えると思いますが、これは関数項級数の連続性の問題です。一様収束極限は連続であることを用いて交換できることを示して上げましょう。
筆者は、最初の変換って全単射？って迷ってしまいました。もっと丁寧に書くならば、そこも示す必要があるかもしれません。
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