【ぱわぽdeプレゼン】数学と化学の似てるところを比べたら自力で証明できそうもない数学の予想ができてもうた

これまでに、数学と化学を融合してみようっていうＮＯＴＥを４つ（１本目，２本目，３本目，４本目）書きました。いずれのＮＯＴＥも周期表に並んでいる原子にまつわる素数（原子番号や電子数）に何か法則が隠されているんじゃないか？と闇雲に調べていましたね。今回はそこから視点を変えたと言いますか「なんの根拠もないけど、数学と化学の分子ってなんか似てねぇ？」っていう直感が働いたので、また性懲りもなく調べてみました。もしよかったらどうぞ最後までお付き合いください。

【出発点】合成数って多原子分子みたいじゃね？

一週間ほど前に「素数を単原子分子だとしたら、合成数（２つ以上の素数のかけ算で作られた数）は多原子分子みたいやん」とふと思いつきました。

一番簡単なのは原子が１コだけで構成される単原子分子で、数学と化学においてはそれぞれ素数と希ガス（ヘリウムＨｅ、ネオンＮｅ、アルゴンＡｒ、クリプトンＫｒ･･･）が対応します。金や銀などの金属原子も単原子で存在しますが、分子を作らないのでスライドの例には載せませんでした。

構成する原子が２コになった場合はどうでしょうか？２つの素数から作った合成数を勝手に二核合成数と呼ぶことにすると、

二核合成数　なら　２×２＝４、２×３＝６、３×３＝９･･･
二原子分子　なら　窒素（Ｎ２）、酸素（Ｏ２）、一酸化炭素（ＣＯ）･･･

これらの例から分かるのは（２×２やＮ２のように）同じ原子同士で構成された等核二原子分子と（２×３やＣＯのように）２種類の原子で構成された異核二原子分子があるということですね。

それでは、構成する原子が３コになった場合はどうでしょうか？３つの素数から作った合成数をこれまた勝手に三核合成数と呼ぶことにすると、

三核合成数　なら　２×２×２＝８、２×２×３＝１２、２×３×５＝３０･･･
三原子分子　なら　オゾン（Ｏ３）、水（Ｈ２Ｏ）、青酸（ＨＣＮ）･･･

１種類の原子だけで構成した分子、２種類の原子で構成した分子、３種類の原子で構成した分子があることが分かります。

こんな感じで、構成する原子を４コ、５コ･･･Ｎコというように増やしていったとき、Ｎ核合成数についてカウントしたらどうなるんだろう？という興味が湧いてきたわけです。

【数学】実際にＮ核合成数の個数をカウントしてみた

自然数の探索範囲を１～１０２４（２の１０乗）としたら以下の結果が得られました。

このグラフを描く前は、組合せを考えたらＮ≧２の時はＮが多くなるほど個数が減少していくだろうと予想していました。それは思った通りだったんですが、思ったよりキレイな減衰の仕方をしました。Excel で近似曲線を描いてみると、６次関数がとても良くフィットしました（７次関数以上の機能がついてなかった･･･）。この結果を受けて、自分は「おっ！？」と思いました。

【化学】レナード－ジョーンズ・ポテンシャルを上下反転させたグラフに良く似てるわ

化学の世界には、２つの分子間（本来は原子間）の距離を変えた時に引力が勝っているか反発力が勝っているかが分かるレナード－ジョーンズ・ポテンシャルのグラフがあります。奇遇にも、式中には－６乗の項が含まれていて、そのグラフを上下反転させた形にそっくりなんです。

グラフの縦軸の０より上側は引力が勝っているエリアを表しています。見比べると、先ほどのＮ核合成数のグラフと酸素（Ｏ２）のレナード－ジョーンズ・ポテンシャルのグラフがよく似ています。水素（Ｈ２）は減衰にかかる幅がＯ２よりも少し長いようですね。

グラフの一番高い位置は分子同士が一番安定する距離を表しています。Ｎ核合成数のうち最も個数が多かったのはＮ＝２なので、もしかするとこれは二核の安定性によるものなのかもしれません。

ちなみに、もう一つ光化学関連で似ているグラフがあります。半導体や絶縁体内で一度電荷を分離させてできる一対の電子と正孔（励起子、エキシトン）が再結合するまでにかかる時間をオシロスコープなんかを使って測ると似た減衰が見られます。物質間だけでなく、素粒子も含めた二体間においても同じような相互作用が起こるのかもしれないなぁと思いました。

【予想】自然数をＮ原子分子（Ｎ≧１）として捉えた時、単原子分子である素数の数が最少になるはず

１０の累乗ごとに範囲を変えてＮ核合成数をカウントするとＮ＝２が全範囲において一番多かったです。また、グラフを見るとＮ＝２を軸にして凸状に盛り上がっていってるので、Ｎ核合成数（Ｎ≧２）の個数はいずれ素数の個数を上回るような気がします。このことを言い換えると、自然数をＮ原子分子（Ｎ≧１）として捉えた時、単原子分子である素数の数が最少になるはずだ、と予想できます（知らんけど）。

もしかしたら、これは高校数学のレベルでも証明できる問題なのかもしれませんが、今のところ全然頭が回らないので予想を言うだけにとどめておきます。ここまで読んでいただきありがとうございました ( 灬'ω'灬 )੭⁾⁾